Ableitung von Funktionen

Ansstieg an einem Punkt

Ableitung von Funktionen


Ursprünglich hat man nur die Steigung von linearen Funktionen berechnet, da diese überall den gleichen Anstieg haben. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt, wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.

Bei der Berechnung der Steigung einer Linearen Funktion benutzt man die Zwei-Punkte-Form (oder Steigungsdreieck). Bei Steigungsdreiecken rechnet man einfach mit der umgestellten Formel. Bei der Zwei-Punkte-Form hat man nicht die Seitenlängen x und y. Diese kann man allerdings über die Differenzen zueinander herausbekommen. Deshalb ist die Formel: .

Um die Steigung in einem Punkt zu berechnen, nähert man einem Punkt einen zweiten immer mehr an, sodass sie fast gleich sind. Von der Gerade zwischen diesen Punkten berechnet man die Steigung. Man nennt den Punkt, dem der zweite angenähert wird, P (x |f(x). Den zweiten Punkt nennt dann Q (x0|f(x0). Dieses in die Zwei-Punkte-Form eingesetzt nennt man Differenzenquotient und beschreibt die Steigung der Geraden zwischen dem Punkt und einem beliebig ausgewählten.

    Differenzenquotient

Um die zwei Punkte verschwindend eng zusammen zu bringen, kommt der Grenzwert ins Spiel.

Die eigentliche Ableitung (auch Differentialquotient oder Differenzialquotient genannt)

Definition: Es sei f eine Funktion, deren Definitionsmenge D(f) und deren Wertemenge W(f) Teilmengen von  sind (zu Deutsch: eine normale Funktion ist gegeben, von der die Ableitung berechnet werden soll). Wenn an der Stelle  der Grenzwert vom Differenzenquotienten existiert, so nennt man ihn Ableitung oder Differentialquotient.

   Differentialquotient

Eine Ableitung einer Funktion f bezeichnet man als f’(x0), oder. Die übliche Schreibweise ist die erste. Den Vorgang eine Ableitung zu einer Funktion zu erstellen, nennt man differenzieren.

Anhand einiger Beispiele soll dies nun gezeigt werden. Es werden daraus Regeln erstellt, mit denen man später rechnet, da dies viel schneller geht:

Beispiel konstante Funktion:


f(x) = c
f’(x) = 0 (Ableitung von der Funktion f(x) = c ist gleich Null)

Beispiel: f(x) = 5

Beispiel für identische Funktion:


f(x) = x (die einfachste Form der linearen Funktion, wobei die Steigung m = 1 ist)
f’(x) = 1 (Ableitung von der Funktion f(x) = x ist gleich 1)

Beispiel für quadratische Funktion:


f(x) = x²
f’(x) = 2x


Beispiel für eine beliebige Potenzfunktion:


f(x) = xn
f’(x) = n∙x0n-1

Da der Beweis schon komplizierter ist, wird hier nur die Regelmäßigkeit aus den vorherigen Beispielen gezeigt.

f(x) = x könnte man auch als f(x) = x1 schreiben. Die Ableitung ist dann f’(x) = n∙xn-1, wobei n in diesem Fall 1 ist, also f’(x) = 1∙x1-1 = 1∙1.

f(x) = x² hat nach dieser Regel dann die Ableitung f’(x) = 2∙x2-1= 2x, was ja oben bewiesen worden ist.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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