Achsenspiegelung

Spiegelung an einer Geraden

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Spiegelung von Punkten und ganzen Figuren an Geraden. Hierfür benötigen wir unsere Zeichenausrüstung Stift, Geodreieck und Zirkel. Unser Ziel ist es, zuerst einen Punkt P an einer Geraden g zu spiegeln. Wir zeichnen zuerst unsere Gerade g und unseren Punkt P:

Der Weg mit dem Geodreieck

Jetzt legen wir unserer Geodreieck mit der Mittellinie auf unsere Gerade g und ziehen eine Linie vom Punkt P senkrecht zur Geraden g:

Auf dieser Linie wird auch der gespiegelte Punkt, wir nennen ihn P‘, liegen. Er soll den gleichen Abstand zur Geraden haben wie der Punkt P. Dafür müssen wir den Abstand messen und können dann den Punkt einzeichnen. Danach sind wir fertig, der Punkt ist gespiegelt an der Geraden g.

Der Weg mit dem Zirkel

Den Punkt mithilfe des Geodreiecks zu spiegeln ist zwar durchaus üblich, aber mit dem Zirkel ist es noch eine Spur eleganter. Wir haben die gleiche Voraussetzung, nämlich unseren Punkt P und unsere Gerade g:

Jetzt nehmen wir unseren Zirkel und stechen mit genügend großem Radius im Punkt P ein. Genügend ist der Radius dann, wenn er die Gerade g zweimal schneidet. Eventuell müssen wir unsere Gerade etwas verlängern, wenn der Punkt zu weit von der Gerade entfernt ist. Hier reicht es aber gerade so.

An den Stellen, an dem der Kreis um P die Gerade schneidet, stechen wir mit unserem Zirkel erneut ein und greifen den Abstand zu P ab und zeichnen zwei Kreise um die Punkte Q und R.

Diese zwei Kreise um Q und R müssen sich unbedingt im Punkt P schneiden. Schließlich haben wir vorher auch den entsprechenden Abstand abgegriffen mit dem Zirkel. Die Punkte P, Q und R bilden zusammen übrigens ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Höhe der Abstand zwischen P und g ist. Der gesuchte Punkt P‘ ist der Punkt, an dem sich die Kreise um Q und R zum zweiten Mal schneiden. Das erste Mal schneiden sie sich schließlich in P. Die Punkte P‘, Q und R bilden übrigens das gleiche gleichschenklige Dreieck, nur dass es an der Geraden g gespiegelt ist.

Wenn wir die vier Punkte miteinander verbinden, entsteht ein Parallelogramm, es ist sogar eins, bei dem alle Seiten gleichlang sind, also eine Raute.

Wie würden wir jetzt diese Figur an der Geraden g spiegeln? Wir würden jeden einzelnen Punkt spiegeln und die Punkte miteinander verbinden. Wenn wir P‘ ein zweites Mal spiegeln, landet der Punkt auf P. P gespiegelt ist P‘ und die Punkte Q und R, die keinen Abstand von der Geraden g haben, würden gespiegelt an ihrer Stellen bleiben. Die Figur sähe nach der Spiegelung genauso aus wie vor der Spiegelung.

Wir nennen eine solche Figur achsensymmetrisch zur Geraden g. Für diese Gerade haben wir in diesem Fall einen eigenen Namen, wir nennen sie Symmetrieachse.

 

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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