Additionsverfahren

Lösungsmenge bestimmen durch Addieren der Gleichungen

Additionsverfahren


Beim Additionsverfahren addieren wir zwei Gleichungen. Das Ziel ist es, dass eine oder mehrere Variablen wegfallen. Aber warum darf man zwei Gleichungen addieren? Wir haben schon erfahren, dass Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge von den Gleichungen nicht ändern. Das bedeutet schon einmal, dass Addieren auf beiden Seiten mit denselben Summanden nichts verändert. Unser Ziel ist aber tatsächlich eine Veränderung. Wir wissen, die eine Gleichung hat als Lösungsmenge eine Gerade und die zweite auch, für gewöhnlich unterschiedliche Geraden. Uns interessiert aber nur eine ganz bestimmte Lösung, nämlich die, bei denen beide Lösungsmengen sich überschneiden. Wenn wir also davon ausgehen, dass beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge haben, ist es praktisch wie eine Äquivalenzumformung, als ob wir die Gleichung vervielfachen mit irgendeinem Faktor. Wenn die Lösungsmengen nicht ganz identisch sind, wirkt das Addieren wie ein Filter und es bleiben nur die Lösungen übrig, die bei beiden Gleichungen diese erfüllen.

Wie schon erwähnt, unser Ziel ist es, dass eine Variable wegfällt, um mit der ersten Variable die zweite auszurechnen. Denn was passiert, wenn keine wegfällt, wir nehmen ein Beispiel, die Lösungsmenge ist das Paar x = 1 und y = – 1:

(1) 2x + y = 1
(2) – x + y = – 2

Wir addieren einfach beide, also beide linken Seiten und beide rechten Seiten und erhalten eine dritte Gleichung:


Diese Gleichung hat zwar für sich eine eigene Lösungsmenge, auch eine Gerade, aber im System mit den beiden anderen werden alle Lösungen weggefiltert, die nicht passen, sodass nur noch x = 1 und y = – 1 als Lösungen übrig bleiben. Jetzt addieren wir mal (1) und (3):

(1) + (3) = (4)

2x + y + x + 2y = 1 – 1

(4) 3x + 3y = 0

Auch hier sehen wir: x = 1 und y = – 1 sind Lösung. Wir addieren (3) und (4):

(3) + (4) = (5)

x + 2y + 3x + 3y = – 1 + 0

(5) 4x + 5y = – 1

Und wieder sehen wir: x = 1 und y = – 1 sind Lösung. Das können wir so weiter machen, wir werden immer Gleichungen erhalten, die diese Lösungen haben. Im Grunde wollen wir aber dieses x = 1 und y = – 1 ausrechnen, denn das wissen wir vorher ja nicht.

Wenn wir zwei Variable in unseren Gleichungen haben, dann müssen wir nur eine „eliminieren“ (also herausschmeißen) mit dieser Art von Additionen, sodass wir eine Variable ausrechnen können. Mit dieser rechnen wir die zweite Variable aus. Damit dieses Eliminieren passieren kann, müssen wir dafür sorgen, dass die Vorfaktoren Gegenzahlen zueinander sind, das können wir mit Äquivalenzumformungen erledigen.

Wir rechnen ein Beispiel (mit einer Lösung):

Wir haben uns hier entschieden x zu eliminieren. Dafür mussten die Vorfaktoren vor den jeweiligen x Gegenzahlen zueinander werden. Um 2 und – 1 Gegenzahlen zueinander werden zu lassen, hätten wir die erste Gleichung komplett durch 2 teilen können oder – wofür wir uns entschieden haben – die zweite Gleich komplett mal 2 rechnen. Danach haben wir addiert, wobei die Variable x eliminiert wurde. Im letzten Schritt haben wir mit Äquivalenzumformungen die übrig gebliebene Variable ausgerechnet.

Jetzt können wir das y in eine der Ursprungsgleichungen (1) oder (2) einsetzen und x mit x = 1 ausrechnen.

Wir rechnen ein weiteres Beispiel. Vorweg sei angemerkt, dass es bei diesem Beispiel keine Lösung, also als Lösungsmenge nur die leere Menge gibt.

Wir erhalten einen klaren Widerspruch und deshalb: keine Lösung.

Und zuletzt ein Beispiel mit unendlich vielen Lösungen:

Als Lösung erhalten wir eine wahre Aussage, die unabhängig von der Variablen ist und damit gibt es unendlich viele Lösungen, die Lösungsmenge ist die Geradengleichung, die man aus (1) oder (2) ermitteln kann, wenn man diese Gleichungen nach y umstellt.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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