Äquivalenzumformungen bei Gleichungen

Lösen von Gleichungen - Lösungsmenge bestimmen

Äquivalenzumformungen bei Gleichungen


Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen, also ist von der Form Term1 = Term2. Aber nur wenn die zwei Terme wertgleich sind, stimmt das für alle Werte. Für gewöhnlich sind die zwei Terme aber nicht wertgleich, sodass wir die Lösungsmenge bestimmen müssen, also die Zahlen suchen müssen, die man für die Variablen einsetzen kann, sodass wir dadurch eine wahre Aussage erhalten.

Wenn wir also eine Gleichung haben, wie 2x + 3 = x + 9, dann ist nicht offensichtlich, was wir für x einsetzen dürfen. Unser Ziel ist es also rechnerisch zu bestimmen, welche Werte x annehmen darf. Wir wollen am Ende x = „irgendeine Zahl“ stehen haben. Dafür müssen wir die Gleichung nach x auflösen.

Wir müssen also solange Umformungen vornehmen, die so genannten Äquivalenzumformungen, bis wir nach x aufgelöst haben. Dazu haben wir folgende Möglichkeiten:

1. Additionsregel/Subtraktionsregel

Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht. Welche Zahl wir addieren oder subtrahieren zeigen wir, indem wir die Rechenoperation hinter einem senkrechten Arbeitsstrich aufschreiben.

Beispiel

Die Lösungsmenge ist für diese Gleichung also 6. Die Probe können wir machen, indem wir die Zahl(en) der Lösungsmenge in die Ursprungsgleichung einsetzen. 6 + 3 = 9 ist wahr, also haben wir richtig gerechnet.

2. Multiplikationsregel/Divisionsregel

Wenn wir beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren, dann ändert sich die Lösungsmenge nicht. Auch diese Rechenoperation schreiben wir hinter unseren Arbeitsstrich.

Beispiel

3. Addition oder Subtraktion eines Teilterms

Wenn wir auf beiden Seiten der Gleichung einen Teilterm wie 2x oder 5x² oder (2x + 1) addieren oder subtrahieren, dann ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht.

Beispiel

Vorsicht: Das Multiplizieren oder Dividieren von der Variablen x stellt meistens keine sinnvolle Äquivalenzumformung dar. In dem Fall, dass x dadurch komplett wegfällt, kommt man sogar zu einem falschen Ergebnis.

Beispiel

Diese Gleichung scheint nicht lösbar, wir sagen für einen solchen Fall, die Lösungsmenge ist leer. Aber das stimmt nicht, denn recht offensichtlich ist 0 eine Lösung dieser Gleichung. Und damit haben wir auch die Erklärung, warum wir falsch gerechnet haben. Denn wir teilen durch eine Variable und die dürfte auch Null sein, aber durch Null dürfen wir nicht teilen! Deshalb beim Teilen durch Variablen immer gut aufpassen!

Richtig wäre gewesen:

Zur Schreibweise: Wir haben hier Gleichung unter Gleichung geschrieben. Das ist auch in Ordnung. Aber: Um die Äquivalenz, also die Gleichheit der Gleichungen, zu zeigen, haben wir ein Äquivalenzzeichen: den Äquivalenzpfeil. Und wir schreiben:

Praktisch ist, dass wir dadurch Gleichungen auch hintereinander schreiben dürfen:

Das ist allerdings nicht zu empfehlen.

Lösungsmengen von Gleichungen

Wir haben schon häufiger von der Lösungsmenge bei Gleichungen gehört und wollen dieses Thema ein wenig vertiefen und systematisieren. Die Frage ist, wie viele Lösungen hat meine Gleichung und wie schreibe ich die Lösungsmenge auf. Wir haben schon erfahren, dass Gleichungen scheinbar auch keine Lösung haben können. Dann hatten wir viele Gleichung mit nur einer Lösung. Dann vermuten wir, dass es vielleicht auch Gleichungen mit zwei Lösungen gibt (die gibt es auch, das sind quadratische Gleichungen), aber mit denen befassen wir uns hier nicht. Und zuletzt gibt es auch noch Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen.

1. Gleichung unlösbar: Lösungsmenge leer

Als Voraussetzung haben wir eine Gleichung gegeben, bei der wir probieren, sie nach x umzustellen. Zum Schluss erhalten wir allerdings eine unwahre Aussage. Dann ist die Lösungsmenge leer, also gibt es keine Zahlen, die wir für x einsetzen können.

Beispiel

Es ist klar, dass zwei unterschiedliche Zahlen nicht gleich sind. Wir schreiben die Lösungsmenge auf. Gern gesehen ist das in der Art L = {Lösungen}.

So ist das übliche Zeichen für die leere Menge. Häufig wird es auch so aufgeschrieben:

Auch wenn viele meinen, dass mathematische Texte und Aufgaben aus möglichst vielen kryptischen Zeichen bestehen müssen, ist ein Antwortsatz, der das Gleiche aussagt, genauso richtig:

Die Lösungsmenge ist leer. Oder: Die Lösungsmenge ist die leere Menge.

2. Gleichung hat genau eine Lösung

Wie haben wir als Voraussetzung eine Gleichung zu lösen. Mit den zulässigen Äquivalenzumformungen kommen wir zu einem Ergebnis und schreiben die Lösungsmenge auf.

Beispiel

Wenn man einen Antwortsatz hätte schreiben wollen, hätte man geschrieben: Die Lösungsmenge beinhaltet nur die 1.

3. Gleichung hat unendlich viele Lösungen

Wenn wir am Ende der Äquivalenzumformungen eine wahre Aussage erhalten, die unabhängig von einer Variable ist, dann dürfen wir für die Variable jede beliebige Zahl einsetzen, also gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Als Lösungsmenge haben wir dann also den gesamten Zahlenbereich, wir nehmen die rationalen Zahlen, also schreiben wir für die Lösungsmenge:

Wir wollen unser Vorgehen zusammenfassen. Folgendermaßen gehen wir vor beim Lösen von Gleichungen:

1. Zusammenfassen von gleichartigen Gliedern. Beispiel: 2x + 4 + 3x wird zu 5x + 4

2. Durch Äquivalenzumformungen die Glieder mit Variable auf eine Seite bringen und die ohne auf die andere Seite. Danach durch Teilen des Vorfaktors versuchen, die Lösungsmenge zu bestimmen.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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