Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)


Durch geschicktes Verbinden in Rechenwegen können wir häufig Rechenvorteile gewinnen. Wir zeigen durch Klammern, welche Teile wir zuerst ausrechnen wollen. Es gibt zwei Assoziativgesetze, das der Addition und das der Multiplikation.

Assoziativgesetz der Addition

In einer Summe aus drei oder mehr Summanden können wir beliebige Teile in Klammern setzen und damit zeigen, dass wir sie zuerst rechnen wollen. Andererseits, falls in einer Summe aus mehr als zwei Summanden Klammern stehen, können wir diese auch weglassen.

Wir zeigen ein beliebiges Beispiel, die Summe aus a + b + c. Es gilt:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Ein Beispiel mit Zahlen: Was ist 54 + 23 + 77?

Wir denken vorerst nicht weiter nach und klammern einfach erst einmal alle Möglichkeiten und vergleichen. Wir klammern folgendermaßen: (54 + 23) + 77 und 54 + (23 + 77). Bei der ersten Möglichkeit müssen wir zunächst 54 + 23 rechnen und später 77 addieren. Das sind 77 + 77 = 154. Bei der zweiten Möglichkeit müssen wir zunächst 23 + 77 rechnen und dann noch 54 addieren. Das sind 100 + 54 = 154. Es bleibt jedem selbst überlassen, was er schneller, sicherer und besser rechnen kann.

Ein zweites Beispiel: 20 + 69 + 11 + 497

Wir klammern folgendermaßen: [20 + (69 + 11)] + 497

Im Grunde sucht man jedes Mal Zahlenpaare, die ein Rechnen im Kopf erleichtern und klammert entsprechend. Wir rechnen noch ein Beispiel, diesmal tricksen wir ein wenig. Wir überlegen uns, wenn wir eine Null irgendwo addieren, ändert sich der Wert nicht. Das Beispiel: 557 + 35 + 199 + 201. Wir klammern die 199 + 201. Aber 557 + 35? Wir gehen bei 557 zum nächsten 5er, also plus 8: 557 + 8 + 35. Wir dürfen nur nicht vergessen am Ende wieder 8 abzuziehen. Wir klammern und rechnen:

Assoziativgesetz der Subtraktion

Die Subtraktion ist grundsätzlich nicht assoziativ und das Assoziativgesetz der Subtraktion ist im Grunde eine Abwandlung des Assoziativgesetzes der Addition. Wir müssen allerdings beachten, dass wenn wir beim Klammern ein Minus vor der Klammer haben, wir das Rechenzeichen umdrehen müssen, also plus zu minus und minus zu plus. Wenn wir 20 – 8 – 2 rechnen wollen, könnten wir 8 – 2 klammern. Hier haben wir dann aber den Fall, dass ein „–“ vor der Klammer ist und müssen das Rechenzeichen umdrehen, also statt minus rechnen wir plus.

Ein weiteres Beispiel: 25 – 13 + 7 – 2. Bei diesem Beispiel würde man wohl nicht klammern, wir tun es trotzdem. Verlockend ist die Mitte 13 + 7, aber Vorsicht, vor der Klammer wäre ein Minus und man müsste das Rechenzeichen umdrehen zu 13 – 7 und das ist nur begrenzt vorteilhaft.

Wir klammern 7 – 2 und sehen, vor der Klammer wäre ein Plus, sodass wir das Rechenzeichen nicht umdrehen müssten. Jetzt wäre das Kommutativgesetz hilfreich, aber das kennen wir zu diesem Zeitpunkt vielleicht noch nicht, aber dann könnten wir Folgendes machen:

Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation funktioniert genauso wie das der Addition. Wir haben nur ein anderes Rechenzeichen, alles andere bleibt genau gleich. In einem reinen Produkt dürfen wir also genauso beliebig klammern wie in einer reinen Summe.

Beispiel:

Assoziativgesetz der Division

Das Assoziativgesetz der Division ist eine Abwandlung des Assoziativgesetzes für die Subtraktion. Statt plus hat man mal, statt minus haben wir geteilt. Das heißt, wenn wir vor der Klammer ein geteilt haben, dann müssen wir das Rechenzeichen umdrehen.

Beispiel: 36 : 2 : 3

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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