Aufgabe "Pizza"

Zum Thema Bruchrechnung

Aufgabe "Pizza"


Die Situation:

Der Ofen ist auf 220 °C vorgeheizt, auf dem Backofen liegt eine Pizza in der Geschmacksrichtung Salami mit leckeren Peperoni, während du dir aus Langeweile die Nährwerttabelle ansiehst und überlegst, ob die Stunde Jogging es rechtfertigt, die ganze statt nur eine halbe vor dem Fernseher zu verspeisen, klingelt es auch schon an der Tür. Natürlich müssen ausgerechnet heute alle deine Freunde vorbeikommen. Plötzlich seid ihr zu sechst. Davon wollen zwei deiner Freunde nichts von der Pizza abhaben.

Die Aufgaben können allein mit den Kenntnissen der Bruchrechnung und den vier Grundrechenarten gelöst werden.

a) Berechne für eine ganze Pizza (400 g) die Nährwerte.
b) Entscheide, wie viel Anteil du von der ganzen Pizza essen darfst, wenn du beim Joggen 600 kcal verbrannt hast.
c) Wie viel Pizza bekommst du nach oben geschildeter Situation wirklich ab? Ist es weniger als der erlaubte Anteil in Aufgabenteil b)?
d) Drücke mit einem Bruch den Anteil derer in der Gruppe aus, die keine Pizza essen (kürze das Ergebnis soweit es möglich ist).
e) Jetzt hat bei dem Anblick auch noch eine fünfte Person Appetit bekommen. Diese Person will allerdings nur ein Achtel von der Pizza haben. Eine Person „A“ erklärt sich bereit , eine andere Person „B“ abzugeben (die Anteile sind auf die ganze Pizza bezogen). Sind das zusammen ? Und wie viel Anteil haben jetzt noch Person „A“ und „B“? Wer hat mehr abgegeben?

Hinweise zum Lösen der Aufgabe (welche Kenntnisse werden für welchen Aufgabenteil benötigt):

Allgemeiner Hinweis: Lies die Aufgabenstellung gründlich, schreibe alle Werte heraus, die du ihr entnehmen kannst und überlege, was du suchst. Achte auf versteckte Hinweise zu Rechenoperationen: „Anteil von“ bedeutet einen Bruch auszurechnen, „und“ bedeutet addieren (plus rechnen), „von etwas abgeben“ bedeutet von einem Wert zu subtrahieren (minus rechnen), „sind das zusammen“ bedeutet, dass in der Aufgabenstellung vorher Werte vorkommen, die man zusammenrechnen (addieren) muss.

Hinweis Aufgabenteil a)

Hier braucht man Multiplikation. Die Werte in der Nährwerttabelle sind für 100 g, die ganze Pizza hat 400 g. Mit welchem Faktor muss 100 g malgenommen werden um 400 g herauszubekommen? Mit diesem Faktor muss dann jeder einzelne Wert malgenommen werden.

Hinweis Aufgabenteil b)

Aus Aufgabenteil a) hast du einen Wert für den Brennwert in kcal für die ganze Pizza herausbekommen. Gefragt ist jetzt, was für ein Anteil 600 kcal von dem Brennwert aus a) ist. Um das zu berechnen, teilt man den Wert aus a), sodass 1 kcal herauskommt und multipliziert mit 600

Gesucht ist also das rote Fragezeichen.

Hinweis Aufgabenteil c)

Dieser Teil besteht aus zwei Aufgaben. Erst den Anteil berechnen: 1 Pizza für vier Personen

Wieder ist nach dem roten Fragezeichen gefragt. Der Bruchstrich kann schließlich auch als „durch“-/„geteilt“-Zeichen gedeutet werden, also ¼ = 1:4 (ein Viertel gleich eins durch vier). Teilt man also die ganze Pizza durch vier, hat man viermal ¼ Pizzastücke. Das ist also schon dein Anteil, da du auch nur ein Stück abbekommst – wie alle übrigen auch. Also ist ¼ schon die Lösung zu c) und nicht nur als Hinweis zu verstehen.

Im zweiten Teil dieses Aufgabenteils soll der „erlaubte“ Wert (aus Aufgabenteil b)) mit dem Wert ¼ verglichen werden. Ist der Wert ¼ kleiner als der Wert aus b) (¼ < „Wert aus b)“)?

Hinweis Aufgabenteil d)

Wieder muss wie in den vorherigen Aufgabenteilen ein Bruch berechnet werden. Die gesamte Personenzahl und die, die keine Pizza essen, kann man der Aufgabenstellung entnehmen.

Hinweis Aufgabenteil e)

Hier wird erst Addition mit Brüchen vorausgesetzt, danach soll man von dem Viertel der Person „A“ abziehen (subtrahieren) und von dem Viertel von Person „B“ subtrahieren.

Lösung

Was ist relevant?

Der Ofen ist auf 220 °C vorgeheizt, auf dem Backofen liegt eine Pizza in der Geschmacksrichtung Salami mit leckeren Peperoni, während du dir aus Langerweile die Nährwerttabelle ansiehst und überlegst, ob die Stunde Jogging es rechtfertigt, die ganze statt nur eine halbe vor dem Fernseher zu verspeisen, klingelt es auch schon an der Tür. Natürlich müssen ausgerechnet heute alle deine Freunde vorbeikommen. Plötzlich seid ihr zu sechst. Davon wollen zwei deiner Freunde nichts von der Pizza abhaben.

In der Situation gegebene Werte:

Vorhandene Menge Pizza: 1
Menge an Personen: 6
Menge, die nicht Pizza isst: 2
Pizzaesser: 6 – 2 = 4

Auch noch gegeben: die Nährwerttabelle.

Lösung des Aufgabenteil a)

a) Berechne für eine ganze Pizza (400 g) die Nährwerte.

Alle Werte werden für 100 g gegeben.

Gesucht: der Faktor (wir nennen ihn „x“), der aus 100 g gleich 400 g macht.

100 g · x = 400 g

Um x herauszubekommen, müssen wir die Rechnung umkehren (Umkehrrechnung von Multiplikation [malrechnen] ist Division [teilen])

400 g : 100 g = x
4 = x

Der Faktor x ergibt also 4. Alle Nährwerte müssen nun mit 4 multipliziert werden:

Lösung des Aufgabenteil b)

b) Entscheide, wie viel Anteil du von der ganzen Pizza essen darfst, wenn du beim Joggen 600 kcal verbrannt hast.

In das Bild des Hinweises setzen wir jetzt den Wert aus a) ein. Ein Blick in die Tabelle verrät 800 kcal.

Das rote Fragezeichen ist also:

Die Antwort lautet also, dass du der Pizza essen dürftest.

Lösung des Aufgabenteil c)

c) Wie viel Pizza bekommst du nach oben geschildeter Situation wirklich ab? Ist es weniger als der erlaubte Anteil in Aufgabenteil b)?

Dafür gegeben:
Pizza: 1
Personen, die essen: 4

Gesucht:
Der Anteil, den du abbekommst
Der Vergleich mit dem Wert aus b)

Funktioniert wieder genauso wie schon b), nur dass man das „mal 1“ weglassen könnte.

Die einfachste Erklärung wäre hier, dass der Bruchstrich dem geteilt entspricht. Und für eine Pizza durch 4 gleich ein Viertel schreiben kann (1:4 = ¼).

Aber ausführlich wie oben:

Jeder der Personen bekommt also ¼ Pizza.

Jetzt fehlt nur noch der Vergleich mit dem Wert aus b).

Zum Glück haben die Brüche schon den gleichen Nenner, sonst müsste man durch Kürzen oder Erweitern den gleichen Nenner (oder Zähler) erst herstellen.

Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, ist der Bruch mit dem kleineren Zähler die kleinere Zahl, bei gleichen Zählern ist die Zahl mit dem größeren Nenner die kleinere Zahl.

Die Antwort ist klar, der erlaubte Anteil wird eingehalten, da ¼ deutlich kleiner ist.

Lösung des Aufgabenteil d)

d) Drücke mit einem Bruch den Anteil derer in der Gruppe aus, die keine Pizza essen (kürze das Ergebnis soweit es möglich ist).

Gegeben:
6 Personen
davon 2, die keine Pizza essen


Erst durch 6 teilen und dann mal zwei führt zur Lösung:

Der gesuchte Anteil ist also:

Dieser Bruch muss nun noch gekürzt werden (wird in dieser Aufgabe ausdrücklich verlangt, in der Schule wird das oft automatisch verlangt):

der Personen essen also keine Pizza mit.

Lösung des Aufgabenteil e)

e) Jetzt hat bei dem Anblick auch noch eine fünfte Person Appetit bekommen. Diese Person will allerdings nur ein Achtel von der Pizza haben. Eine Person „A“ erklärt sich bereit , eine andere Person „B“ abzugeben (die Anteile sind auf die ganze Pizza bezogen). Sind das zusammen ? Und wie viel Anteil haben jetzt noch Person „A“ und „B“? Wer hat mehr abgegeben?

Als erstes wird danach gefragt, ob die fünfte Person wirklich ein Achtel abbekommt. Also müssen die zwei Anteile von „A“ und „B“ addiert werden.

Nun müssen die Anteile jeweils von der Viertelpizza abgezogen werden:

Person „A“:


Den linken Bruch mit 25 erweitern, den rechten mit 4 ergibt:

Person „B“:

Den linken Bruch muss man mit 50 erweitern, der rechte bleibt wie er ist.

Wer hat jetzt also mehr abgegeben?

Es gibt zwei Möglichkeiten, das zu lösen, entweder guckt man, wer noch mehr übrig hat oder wer eben mehr abgegeben hat.

Möglichkeit 1:


Um die zwei Bruchzahlen miteinander zu vergleichen, muss der linke Bruch mit 8 erweitert werden. Danach sieht man klar, wer den kleineren Zähler hat.

Also gibt Person „A“ mehr ab.

Möglichkeit 2:

Vergleich der beiden Zahlen, die übrig bleiben bei jedem.

Person „A“:
Person „B“:
Der obere Bruch wird mit 2 erweitert und man sieht, dass „A“ weniger übrig behält.

Da „A“ ja weniger übrig behält, führt der Schluss dazu, dass er/sie wohl mehr abgegeben haben muss.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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