Berechnung der Diagonalen im Quadrat

Diagonale im Quadrat

Berechnung der Diagonalen im Quadrat


Wir wollen in einem Quadrat die Länge der Diagonalen berechnen. Um dies zu erledigen, gehen wir einen Umweg über den Flächeninhalt. Wir führen die Berechnung allgemein an einem Quadrat mit der Seitenlänge a durch.

Als erstes stellen wir fest: Der Flächeninhalt unsere Quadrats beträgt A = a². Im nächsten Schritt betrachten wir eins der Dreiecke, die entstehen, wenn wir das Quadrat mit der Diagonale teilen. Wir stellen fest, dass die Diagonale das Quadrat in zwei gleich große Dreiecke teilt mit dem Flächeninhalt:

Wir teilen dieses Dreieck in zwei gleich große Dreiecke und legen es zu einem Quadrat zusammen.

Das Quadrat, welches hierbei entsteht hat den Flächeninhalt:

Durch Auflösen der folgenden Gleichung nach d erhalten wir die Länge der Diagonalen:

Wir rechnen das mit einem Zahlenbeispiel nach. Unsere Quadratseitenlänge a soll 5 cm betragen. Dann beträgt der Flächeninhalt des großen Quadrats 25 cm². Wir teilen in zwei gleich große Dreiecke, dann beträgt der Flächeninhalt eines Dreiecks 12,5 cm². Wir teilen dieses Dreieck erneut und legen es zu einem Quadrat zusammen, die Fläche beträgt weiterhin 12,5 cm². Wir ziehen hiervon die Wurzel und multiplizieren mit 2 und erhalten unsere Diagonale.

Alternativer Weg

Wir hätten nach dem Teilen unseres großen Quadrats auch folgendermaßen ein weiteres Quadrat aus unseren Dreiecken zusammenlegen können.

Der Flächeninhalt beträgt 2 · a² = d². Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir direkt unsere gesuchte Diagonale:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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