Komplette Kurvendiskussion

Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte

Kurvendiskussion


Symmetrie
Verhalten im Unendlichen
Schnittpunkt mit der y-Achse
Nullstellen
Ableitungen
Extrempunkte berechnen
Wendepunkt berechnen
Funktionsgraph

Gegeben sei die folgende Funktion, die wir auf Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achse, Nullstellen), Ableitungen, Extrempunkte und Wendepunkte untersuchen wollen.

Symmetrie

Wir müssen die folgenden Formeln überprüfen:

f(x) = f(– x)      Achsensymmetrie zur y-Achse
f(– x) = – f(x)   Punktsymmetrie zum Ursprung

Wir überprüfen die erste Formel:

Die erste Formel führt zum Ergebnis, dass die Funktion nicht achsensymmetrisch zu y-Achse ist, wir überprüfen daher noch die zweite:

Auch die zweite Formel führt zu keinem Ergebnis. Somit ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten im Unendlichen

Schnittpunkt mit der y-Achse

Zuerst überprüfen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, die befindet sich bei x = 0. Deshalb setzen wir in die Funktion x = 0 ein und erhalten den entsprechenden Wert.

Nullstellen

Als nächstes untersuchen wir die Funktion auf ihre Nullstellen. Wir müssen Polynomdivision anwenden. Zufällig sehen wir, dass bei x = 1 eine Nullstelle existiert. Also führen wir die Polynomdivision durch und teilen durch x – 1.

Wir erhalten unseren Faktoren für die faktorisierte Funktionsvorschrift.

x – 1 = 0

oder

Diese Gleichung lösen wir mit der PQ-Formel.

Da wir später die Funktion zeichnen wollen, rechnen wir die Werte mit dem Taschenrechner aus und erhalten zu der Nullstelle bei x = 1 noch die Nullstellen bei x = 6,196 und bei x = – 4,196.

Ableitungen

Funktion:

Erste Ableitung:

Zweite Ableitung:

Dritte Ableitung:

Extrempunkte berechnen

Notwendige Bedingung: f‘(x) = 0:

Wir überprüfen die Extremstellen auf Hochstelle und auf Tiefstelle:

Wir berechnen die zugehörigen Extremwerte und damit die Extrempunkte:

Hochpunkt H(– 2|6) und Tiefpunkt T(4|– 6).

Wendepunkt berechnen

Erste Ableitung:

Zweite Ableitung:

Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null:

Bei x = 1 befindet sich unsere Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in unsere Funktion ein, um den y-Wert zu bekommen:

Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0). In die dritte Ableitung einsetzen:

Funktionsgraph zeichnen

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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