Einsetzungsverfahren

Lösungsmenge ermitteln durch Einsetzen

Einsetzungsverfahren


Beim Gleichsetzungsverfahren haben wir beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann eben gleichgesetzt. Dem Ganzen liegt zu Grunde, dass wir ein Paar ausrechnen wollen, bei dem beide Variablen in beiden Gleichungen zu wahren Aussagen führen. Und das bedeutet wiederum, dass das y und das x, egal in welcher Gleichung sie vorkommen im Gleichungssystem, denselben Wert haben.

Anders formuliert: Wir haben zwei Gleichungen, zum Beispiel:

2x + y = 1
– x + y = – 2

Und wir wollen die Lösungsmenge bestimmen. Wir wissen, dass zu den Gleichungen jeweils Geraden gehören und dass die Lösungsmenge der Schnittpunkt der beiden Geraden ist (falls sie sich schneiden). Und da wir diesen Schnittpunkt ausrechnen wollen (und wir gehen anfangs immer davon aus, dass sie sich schneiden und entscheiden erst aufgrund des Ergebnisses, ob das auch stimmt), sind die x- und y-Werte gleich. Also gilt:

2(dasselbe x wie in der zweiten Gleichung) + (dasselbe y wie in der zweiten Gleichung) = 1
– (dasselbe x wie in der ersten Gleichung) + (dasselbe y wie in der ersten Gleichung) = – 2

Und genau darauf baut das Einsetzungsverfahren auf, auf dieser Gleichheit. Wir werden jetzt nämlich nur noch eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und weil dieses x oder y ja dasselbe x oder y ist wie in der anderen Gleichung, es dort entsprechend einsetzen.

Beispiel (mit einer Lösung)

2x + y = 1
– x + y = – 2

Wir können beliebig auswählen, welche Gleichung wir umstellen wollen und auch wonach wir auflösen. Wir entscheiden uns dafür, die zweite Gleichung nach y aufzulösen.

– x + y = – 2 | + x
y = x – 2

Dieses y setzen wir jetzt in die erste Gleichung ein. Vorsicht: Wir müssen es in Klammern einsetzen! Später können wir überlegen, ob wir die Klammern aufgrund der Rechenregeln weglassen dürfen.

2x + y         = 1 | für y das aus der zweiten Gleichung erhaltene einsetzen
2x + (x – 2) = 1

Jetzt können wir x ausrechnen:

2x + x – 2 = 1  | zusammenfassen
3x – 2 = 1        | + 2
3x = 3              | : 3
x = 1

Dieses x setzen wir jetzt in die y = … Gleichung ein, also in y = x – 2 und erhalten dadurch unser y = – 1.

Wir rechnen einen alternativen Weg nach. Diesmal werden wir die zweite Gleichung nach x umstellen und in die erste Gleichung einsetzen. Wir erwarten natürlich, dass für x und y am Ende dasselbe Ergebnis herauskommt wie beim ersten Versuch, schließlich handelt es sich immer noch um dasselbe lineare Gleichungssystem.

Unser lineares Gleichungssystem:

2x + y = 1
– x + y = – 2

Wir stellen die zweite Gleichung um:

– x + y = – 2   | – y
– x = – 2 – y   | · (– 1)
x = 2 + y

Wir setzen in die erste Gleichung ein, an die Klammern denken, dieses Mal brauchen wir die nämlich wirklich!

2x         + y = 1  | für x einsetzen
2(2 + y) + y = 1  | ausmultiplizieren
4 + 2y   + y = 1  | zusammenfassen
4 + 3y = 1          | – 4
3y = – 3             | : 3
y = – 1

Dieses y in die x = … Gleichung einsetzen um x auszurechnen, also in x = 2 + y. Dann erhalten wir x = 1. Also L = {(1|– 1)}.

Wir wollen ein weiteres Beispiel rechnen, dieses Mal werden wir keine Lösung erhalten, also als Lösungsmenge die leere Menge. Beim Gleichsetzungsverfahren kam am Ende sowas wie 1 = 3 heraus. Wir erwarten also wieder so einen Widerspruch. Wir rechnen:

2x + 4y = 4
x + 2y = 6

Wonach wir zuerst auflösen, ist beliebig. Aber mit etwas Gefühl erkennen wir, dass in der zweiten Gleichung das x freisteht, ohne Koeffizienten (Vorfaktor). Sodass wir nicht teilen müssen beim Umstellen. Deshalb lösen wir die zweite Gleichung nach x auf:

x + 2y = 6  | – 2y
x = 6 – 2y

Dieses x setzen wir in die erste Gleichung für das dortige x ein:

2x           + 4y = 4
2(6 – 2y) + 4y = 4  | ausmultiplizieren
12 – 4y + 4y = 4    | zusammenfassen
12 = 4

Wir erhalten einen Widerspruch. Also gibt es keine Lösung, sodass L = Ø.

Als letzten Punkt zum Einsetzungsverfahren wollen wir ein Beispiel rechnen, bei dem es unendliche viele Lösungen gibt. Wir rechnen folgendes Beispiel:

2x – 4y = – 12
– 3x + 6y = 18

Dieses Mal lösen wir die erste Gleichung nach x auf, denn der Vorfaktor ist 2 und durch 2 teilen können wir gut.

2x – 4y = – 12  | + 4y
2x = – 12 + 4y  | : 2
x = – 6 + 2y

Dieses x setzen wir für das x in der zweiten Gleichung ein (an die Klammern denken!).

– 3x               + 6y = 18  | x = – 6 + 2y einsetzen
– 3(– 6 + 2y) + 6y = 18   | ausmultiplizieren
18 – 6y + 6y = 18           | zusammenfassen
18 = 18

Wir erhalten eine wahre Aussage, die unabhängig von der Variablen ist. Damit ist die Lösungsmenge eine Gerade. Die Geradengleichung dieser Geraden können wir ausrechnen, indem wir eine der beiden Ursprungsgleichungen nach y auflösen, also:

2x – 4y = – 12    | – 2x
– 4y = – 12 – 2x | : (– 4)
y = 3 + 0,5x

– 3x + 6y = 18    | + 3x
6y = 18 + 3x       | : 6
y = 3 + 0,5x

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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