Einstufiges Zufallsexperiment

Ergebnismenge, Ergebnis, Ereignis, Wahrscheinlichkeit

Einstufiges Zufallsexperiment


In einem beliebigen Zufallsexperiment gibt die Ergebnismenge, die wir mit dem großen griechischen Buchstaben Ω (Omega) bezeichnen, die Menge aller Ergebnisse (also alle Möglichkeiten, die auftreten können) an.

Ergebnismengen zu beispielhaften Zufallsexperimenten

a) Wir ziehen eine Karte aus einem Skatspiel.

Ω = {Karo 7, Karo 8, Karo 9, Karo 10, Karo Bube, Karo Dame, Karo König, Karo Ass, Herz 7, Herz 8, Herz 9, Herz 10, Herz Bube, Herz Dame, Herz König, Herz Ass, Pik 7, Pik 8, Pik 9, Pik 10, Pik Bube, Pik Dame, Pik König, Pik Ass, Kreuz 7, Kreuz 8, Kreuz 9, Kreuz 10, Kreuz Bube, Kreuz Dame, Kreuz König, Kreuz Ass}

b) Wir werfen einen Spielwürfel (mit sechs Flächen) und notieren die Augenzahl

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ereignis und Gegenereignis

Ein Ereignis ist eine Menge, in der wir formulieren (ggf. sprachlich), von was wir eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen wollen. Ist das Ereignis wahrscheinlich, dann ist die Ereignismenge eine Teilmenge von der Ergebnismenge Ω. Als Beispiel nehmen wir den Wurf eines normalen sechsflächigen Spielwürfels.

Zuerst geben wir unsere zugehörige Ergebnismenge an, welche Ergebnisse dürfen wir erwarten: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Jetzt wollen wir Ereignisse formulieren, von denen wir später Wahrscheinlichkeiten berechnen wollen. Für ein Ereignis nehmen wir einen großen Buchstaben, zum Beispiel E. Wir formulieren:

Das Ereignis soll sein, dass wir eine 7 würfeln: E = {7}. Es ist völlig klar, dass man keine 7 würfeln kann, wenn der Würfel nur bis zu einer Augenzahl von 6 geht, wir haben in diesem Fall ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist Null.

Wir formulieren ein weiteres Ereignis. Wir wollen eine Zahl zwischen 1 und 6 würfeln: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Irgendetwas werden wir wohl würfeln, das heißt, das Ereignis wird sicher eintreten und heißt deshalb sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit ist Eins.

Wir formulieren noch ein weiteres Ereignis. Wir wollen eine 1, 2 oder 4 würfeln. E = {1, 2, 4}. Dieses Ereignis hat keinen besonderen Namen, eine Wahrscheinlichkeit müssten wir uns noch überlegen, bzw. ausrechnen.

Wenn wir ein Ereignis formulieren, zum Beispiel E = {1, 2, 4}, dann gibt es auch ein Ereignis, was alles enthält, was E = {1, 2, 4} nicht enthält. Dieses Ereignis nennen wir Gegenereignis (oder auch Komplementärereignis) und schreiben wir:

Ohne genau zu wissen, was Wahrscheinlichkeiten sind, können wir die Komplementärregel formulieren: Entweder tritt das Ereignis oder das Gegenereignis ein und somit ist die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis plus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis die Wahrscheinlichkeit vom sicheren Ereignis, also gleich Eins.

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit zu einem Ergebnis aus der Ergebnismenge gibt an, wie häufig es auftritt, wenn wir den Versuch sehr häufig durchführen. Diese Wahrscheinlichkeit können wir aus Symmetrieüberlegungen heraus festlegen, zum Beispiel, dass beim Würfel jede Fläche gleich groß ist und somit jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich ist oder auch beim Werfen von Münzen, bei denen jede Fläche gleich groß ist und die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis 0,5 beträgt. Wenn wir aufgrund von nicht vorhandener Symmetrie keine Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis abschätzen können, müssen wir den Versuch möglichst oft durchführen und die Häufigkeiten der Ergebnisse notieren. Angenommen, wir wüssten unsere Wahrscheinlichkeit beim Werfen von Münzen nicht, dann würden wir 100-mal werfen und notieren: 47-mal Zahl und 53-mal Kopf. Wir würden daraufhin die absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl an Versuchen teilen und damit die relative Häufigkeit und damit unsere Wahrscheinlichkeit erhalten:

Wir schreiben Wahrscheinlichkeiten mit Wahrscheinlichkeit P (wie probability) von Ereignis oder Ergebnis in Klammern gleich Wahrscheinlichkeit als Dezimalbruch, Bruch oder Prozentzahl.

Wir würden jetzt vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl beim Werfen einer Münze zu erhalten 0,47 ist, dass wir wenn wir 1000-mal werfen 470-mal Zahl erhalten. Wir nehmen an, dass wir den Versuch durchführen mit 1000-mal Werfen und 505-mal Zahl erhalten. Dann korrigieren wir die Wahrscheinlichkeiten für Zahl: P(Zahl) = 0,505 und für Kopf: P(Kopf) = 0,495. Je häufiger wir den Versuch durchführen, desto genauer wird unser Ergebnis.

Die Wahrscheinlichkeit zu einem Ereignis erhalten wir, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die in dem Ereignis zusammengefasst sind, addieren. Wir denken uns ein Ereignis für den Wurf des Spielwürfels aus. Das Ereignis soll sein: E = {3, 5, 6}. Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses beträgt:

Somit ist

Laplace-Experiment

Es handelt sich dann um ein Laplace-Experiment, wenn alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind. Dazu gehören unter anderem auch unsere Beispiele mit dem Spielwürfel und dem Werfen einer Münze.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis beträgt (n ist die Anzahl von Ergebnissen):

Die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis beträgt:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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