Extremwerte, Extremstellen, Extrempunkte berechnen

Lokales oder globales Minimum oder Maximum

Extremwerte, Extremstellen, Extrempunkte berechnen


Zuerst wollen wir nötige Begriffe einführen. Ein Extremwert ist ein y-Wert, und zwar jener zu dem zugehörigen x-Wert, den man Extremstelle nennt. Das Paar Extremstelle und Extremwert bilden den Extrempunkt (x|y). Wir werden in der Reihenfolge Extremstelle, Extremwert rechnen.

Was ist ein Extrempunkt

Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einer Umgebung (in einem Intervall), entweder der höchste Punkt (dann nennt man ihn Maximum oder Hochpunkt) oder aber der tiefste Punkt (dann nennt man ihn Minimum oder Tiefpunkt) ist.

Wenn das Maximum (oder der Hochpunkt) nur in seiner Umgebung der höchste Punkt ist, dann nennen wir diesen Punkt lokales oder relatives Maximum. Ist er der höchste Punkt der gesamten Funktion, so nennen wir ihn globales oder absolutes Maximum.

Das Gleiche gilt für Minima. Ist ein Minimum nur der tiefste Punkt in seiner Umgebung, so nennen wir es lokales oder relatives Minimum. Ist er aber auf der gesamten Funktion der tiefste Punkt, so nennen wir es globales oder absolutes Minimum.

Extrempunkte berechnen (Theorie)

Zuerst müssen wir uns überlegen, wann die Eigenschaften von einem Extrempunkt gegeben sind. Wann sind die höchsten Punkte und wann die tiefsten. Dafür steigen wir in Gedanken auf unser Fahrrad (wem das zu anstrengend ist: Motorrad) und fahren auf unserem Funktionsgraphen los. Wir nehmen an, dass es anfangs nur bergauf geht. Wir suchen den höchsten Punkt, das heißt also, sobald es nicht mehr bergauf geht, haben wir unseren höchsten Punkt – unser Maximum – erreicht und fahren ab da bergab.

Wir übertragen unser Modell auf die Mathematik. Zuerst das Maximum: Die Funktion steigt monoton an (die Ableitung ist solange positiv), nach dem Erreichen des Hochpunkt fällt die Funktion monoton (ab dort ist die Ableitung negativ). Wir suchen also die Stelle, an der die Ableitung von positiv zu negativ wechselt, also die Nullstelle der Ableitung. Das ist die notwendige Bedingung, an dieser Stelle können wir aber noch nicht entscheiden, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt.

Das Gleiche gilt auch für das Minimum: Die Funktion fällt monoton (solange ist die Ableitung negativ), ab dem Minimum steigt die Funktion wieder monoton (die Ableitung wechselt ins Positive). An der Stelle, an dem die Ableitung Null ist, befindet sich also unser Extrempunkt. Ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, können wir erst später entscheiden.

Extrempunkte berechnen (Beispiel)

Wir haben eine Funktion gegeben mit:

Für die notwendige Bedingung leiten wir die Funktion ab und setzen sie gleich Null.

Wir erhalten zwei Extremstellen bei x = – 2 und bei x = 4. Um den passenden Extremwert dazu zu bekommen, müssen wir die zwei Stellen in unsere Funktion (nicht in die Ableitungsfunktion!) einsetzen und erhalten unsere Extrempunkte.

Wir erhalten unseren ersten Extrempunkt mit den Koordinaten (– 2|6).

Wir erhalten unseren zweiten Extrempunkt mit den Koordinaten (4|– 6).

Weiter zu Hochpunkte bzw. Tiefpunkte - Die hinreichende Bedingung

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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