Extremwertprobleme, Extremwertaufgaben

Optimieren mit Funktionen

Extremwertprobleme, Extremwertaufgaben


Bei diesem Aufgabentyp geht es darum, Prozesse zu optimieren, minimalen oder maximalen Aufwand, Material oder Volumen zu erhalten. Dabei braucht man eine Hauptbedingung und eine Nebenbedingung, da man meistens mehr als eine Unbekannte hat und man für die Zielfunktion am Ende nur eine Unbekannte haben möchte. Von der Zielfunktion sind die Extremwerte dann die gesuchten Größen. Wenn z. B. nach maximalen Volumen gefragt wird, ist die Hauptbedingung V = … Soll nach minimaler Oberfläche gesucht werden ist die Hauptbedingung O = … Die Nebenbedingung enthält Informationen, wie zum Beispiel ein gegebenes Volumen, wenn die Oberfläche minimal bzw. maximal werden soll. Ein Beispiel dazu:

Eine Zündholzschachtel soll 5 cm lang sein und das Volumen 45 cm³ haben. Bei welcher Breite und Höhe braucht man zur Herstellung am wenigsten Material?

Bei der Lösung der Aufgabe werden überlappende Flächen nicht weiter beachtet!

I O = 2 ∙ 5 ∙ b + 2 ∙ 5 ∙ c + 2bc (Hauptbedingung)
Oberfläche = zweimal Fläche ab + zweimal Fläche ac + zweimal Fläche bc

II 45 = 5 ∙ bc (Nebenbediungung)
Das Wunschvolumen beträgt 45 cm³ und die Wunschlänge einer Seite 5 cm, ansonsten Standardformel für Volumen eines Quaders.

II nach b aufgelöst:

b =

IIb in I eingesetzt, um nur noch eine Variable zu erhalten:

O(c) = 2 ∙ 5 ∙ + 2 ∙ 5 ∙ c + 2 ∙c

O(c) = + 10c + 18 Zielfunktion erstellt

O’(c) = + 10

0 = + 10 | – 10 Ableitung = 0 um Extremstellen zu erhalten

– 10 = | ∙ c²

– 10 c² = – 90 | : (– 10)

c² = 9 |

c1 = 3

c2 = – 3

O’’(c) =

O’’(3) > 0 ->Tiefpunkt (richtige Lösung, da minimale Oberfläche gesucht ist)

O’’(– 3) < 0 ->Hochpunkt (entfällt schon, da es keine negativen Längen gibt)

 

45 = 5 ∙ bc

45 = 5 ∙ b ∙ 3 c in Funktion einsetzen und b ausrechnen

3 = b

Abmessungen der perfekten Streichholzschachtel (bei einem Volumen von V = 45 cm³):

a = 5 cm
b = 3 cm
c = 3 cm

Ein weiteres Beispiel:

Ein Kessel besteht aus einer Halbkugel mit aufgesetztem Zylindermantel. Wie sind seine Maße zu wählen, damit er mit Deckel bei einer Oberfläche von 150 dm² ein möglichst großes Volumen hat?

Kugel: O = 4πr² V = πr³
Mantel (Zylinder): O = 2πrh

Deckel: O = πr²

Volumen Zylinder: V = πr²∙h

Hauptbedingung:

V(r, h) = 0,5 ∙ πr³ + πr²∙h
Volumen = Hälfte Kugel + Zylinder

 

Nebenbedingung:

150 = 2πrh + πr² + 0,5 ∙ 4πr² | : 2πr
Gewünschte Oberfläche = Mantel Zylinder + Deckel + Oberfläche halbe Kugel

= h + 0,5r + 0,25 ∙ 4r

= h + 1,5r | - 1,5r

- 1,5r = h

 

Zielfunktion:

V(r) = 0,5 ∙ πr³ + πr²∙
V(r) = πr³ + 75r – 1,5 πr³
V(r) = πr³ + 75r
V(r) = πr³ + 75r

V’(r) = πr² + 75

0 = πr² + 75 | : (-15) ∙6 : π

0 = r² -

= r² |

= r

r1 = 3,090193616 r2 = - 3,090193616 (ausgeschlossen)

 

- 1,5r = h

h = 3,090193616

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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