Gleichsetzungsverfahren

Ermitteln der Lösungsmenge durch Gleichsetzen der Gleichungen

Gleichsetzungsverfahren


Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Anlehnung an das graphische Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dort haben wir nach y aufgelöst, um eine Geradengleichung zu erstellen, und dann gesehen, wo die Geraden gleich sind. Das machen wir beim Gleichsetzungsverfahren auch. Wir stellen beide Gleichungen nach einer Variablen um, zum Beispiel nach y, und weil ja y bei beiden gleich sein soll, können wir die Gleichungen gleichsetzen.

Wir machen das mit einem Beispiel (bei dem wir eine Lösung erhalten):

2x + y = 1    | – 2x
y = – 2x + 1

– x + y = – 2 | + x
y = x – 2

Jetzt setzen wir beide Gleichungen gleich und können danach nach x auflösen:

– 2x + 1 = x – 2 | + 2x
1 = 3x – 2          | + 2
3 = 3x                | : 3
1 = x

Jetzt können wir unser ausgerechnetes x in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen und y ausrechnen, also entweder in y = – 2x + 1 oder in y = x – 2 oder auch in beide, denn bei beiden Gleichungen muss das gleiche y herauskommen, sodass man das gleich als Probe rechnen kann. Wir erhalten als Lösungsmenge: L = {(1|– 1)}

Wir wollen ein weiteres Beispiel rechnen, dieses Mal werden wir keine Lösung erhalten, also als Lösungsmenge die leere Menge. Das Beispiel:

2x + 4y = 4
x + 2y = 6

Wir rechnen nach Schema: Erst einmal beide Gleichungen nach y umstellen:

2x + 4y = 4  | – 2x
4y = 4 – 2x  | : 4
y = 1 – 0,5x
x + 2y = 6    | – x
2y = 6 – x    | : 2
y = 3 – 0,5x

Gleichsetzen:

1 – 0,5x = 3 – 0,5x  | + 0,5x
1 = 3

Wir erhalten hier einen Widerspruch, denn 1 ist nicht gleich 3. Wenn wir einen Widerspruch erhalten, dann ist unsere Lösungsmenge gleich der leeren Menge. Oder in Formeln geschrieben: L = Ø

Zum Abschluss des Gleichsetzungsverfahrens wollen wir auch noch ein Beispiel mit unendlich vielen Lösungen rechnen, dazu das Beispiel:

2x – 4y = – 12
– 3x + 6y = 18

Wir stellen wieder nacheinander die Gleichungen nach y um (wir dürften auch nach x umstellen, aber wir mach es mit y).

2x – 4y = – 12    | – 2x
– 4y = – 12 – 2x | : (– 4)
y = 3 + 0,5x

– 3x + 6y = 18    | + 3x
6y = 18 + 3x       | : 6
y = 3 + 0,5x

Wir sehen zwar jetzt schon, dass wir zweimal dieselbe Gerade erhalten, aber wir setzen trotzdem noch gleich:

3 + 0,5x = 3 + 0,5x   | – 0,5x
3 = 3

Wenn wir beim Gleichsetzen am Ende eine wahre Aussage erhalten, die unabhängig von der Variablen ist, dann haben wir den Fall, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Die Lösungsmenge ist die Gerade: y = 3 + 0,5x.

Wir haben jetzt jedes Mal nach y umgestellt und gleichgesetzt, wir wollen sehen, dass wir das gleiche Ergebnis erhalten, wenn wir nach x umstellen:

2x – 4y = – 12   | + 4y
2x = – 12 + 4y   | : 2
x = – 6 + 2y

– 3x + 6y = 18   | – 6y
– 3x = 18 – 6y   | : (– 3)
x = – 6 + 2y

Jetzt setzen wir wieder gleich:

– 6 + 2y = – 6 + 2y   | – 2y
– 6 = – 6

Wir bekommen wieder eine wahre Aussage unabhängig von der Variablen. Es gibt also unendlich viele Lösungen und die Lösungsmenge ist eine Gerade, nämlich x = – 6 + 2y.

Das ist übrigens dasselbe Ergebnis wie vorher, wir müssen aufpassen, dass wir jetzt für y einsetzen und x herausbekommen – nicht wie sonst. Aber wir vergleichen die Geraden mal:

x = – 6 + 2y    und
y = 3 + 0,5x

Die sollen gleich sein, also lösen wir die erste Gerade mal nach y auf:

x = – 6 + 2y    | + 6
x + 6 = 2y       | : 2
0,5x + 3 = y

Und wir sehen, dass es stimmt.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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