Hypothesentest - Signifikanztest - Statistischer Test

Zweiseitiger Hypothesentest, Fehler beim Testen von Hypothesen, einseitiger Hypothesentest

Hypothesentest - Signifikanztest - Statistischer Test


Zweiseitiger Hypothesentest

Das Ziel des Hypothesentests besteht darin, aufgrund einer Stichprobe zu prüfen, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit, die Hypothese, als wahr angenommen werden kann oder ob sie verworfen werden muss.

Die Vorgehensweise ist dabei folgendermaßen:

- Man stellt diese Hypothese (Nullhypothese H0) erst einmal auf.

- Dann gibt man ein Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) vor und bestimmt damit einen Ablehnungsbereich.

- Danach zieht man eine Stichprobe.

- Zum Schluss kann man anhand der vorher aufgestellten Entscheidungsregeln die Hypothese verwerfen oder auch nicht verwerfen.

 

In der Entscheidungsregel werden durch Vorgabe eines Signifikanzniveaus Verwerfungsbereich und Annahmebereich festgelegt. Das Signifikanzniveau ist dabei Komplementärwahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit) zur Sicherheitswahrscheinlichkeit.

Will man also mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % aller Ausgänge abdecken, beträgt das Signifikanzniveau 5 %. Der Annahmebereich und Verwerfungsbereich kann also mit der σ-Umgebung festgelegt werden (im Falle einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % wäre die Umgebung zwischen µ - 1,96σ und µ + 1,96σ zu wählen). Liegt ein Versuchsergebnis nun im Annahmebereich, wird dadurch nicht die Hypothese bestätigt, sondern man entscheidet sich durch die vorher festgelegte Entscheidungsregel, sie weiter als richtig anzusehen.


Nur zur Veranschaulichung wurde n auf 20 reduziert

Ein einfaches Beispiel wäre der Münzwurf. Hier geht man davon aus, dass beide Ereignisse Wappen und Zahl gleichwahrscheinlich sind mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,5. Es soll nun 36-mal geworfen werden, nachdem das Signifikanzniveau auf 5 % festgelegt worden ist.

Die Nullhypothese, die bestätigt werden soll: H0: p = 0,5.

Der Erwartungswert ist µ = n ∙ p, also µ = 36 ∙ 0,5 = 18. Die Standardabweichung σ beträgt (Laplace-Bedingung, dass σ > 3 ist, ist in etwa erfüllt). Um eine 95-prozentige Wahrscheinlichkeit abzudecken, findet man in Tabellen für die σ-Umgebung einen Wert für z = 1,96.

Das heißt, man kann, nachdem man die Umgebung mit µ - 1,96 ∙3 und µ + 1,96 ∙3, also X = 12,12 und X = 23,88, festgelegt hat, die Entscheidungsregel aufstellen: Verwirf die Annahme, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,5 ist, wenn die Anzahl der „Wappen“ X < 13 oder X > 23 ist.

Fehler beim Testen von Hypothesen

Nachdem man eine Stichprobe gezogen hat, ist man aufgrund der vorher festgelegten Entscheidungsregeln zu einem Ergebnis gekommen. Trotzdem kann das Ergebnis falsch sein, entweder, weil die angenommene Hypothese, z. B. die Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,5, von Anfang an falsch war und man aber zum Ergebnis gekommen ist, dass sie stimmt oder die Wahrscheinlichkeit war richtig, aber das wurde nicht erkannt. Übersichtlich dargestellt:

 

Versuchsergebnis im
Annahmebereich

Versuchergebnis im
Verwerfungsbereich

Nullhypothese H0: p = 0,5 wahr

Entscheidung richtig

Entscheidung falsch
(Fehler 1. Art)

Nullhypothese H0: p = 0,5 falsch

Entscheidung falsch
(Fehler 2. Art)

Entscheidung richtig

Einen Fehler 1. Art bezeichnet man auch als α-Fehler. Die Hypothese ist wahr, es handelt sich um die angenommene Wahrscheinlichkeit p = p0 und um einen n-stufigen Bernoulli-Versuch. Deshalb bezeichnet man auch das Signifikanzniveau als Irrtumswahrscheinlichkeit α. In dem oben genannten Versuch beträgt α folglich 5 %.

Einen Fehler 2. Art bezeichnet man auch als β-Fehler. Die Hypothese ist falsch, wurde aber irrtümlich nicht verworfen, weil das Stichprobenergebnis im Annahmebereich liegt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen β-Fehler kann man nur berechnen, wenn die tatsächliche Erfolgswahrscheinlichkeit p1 bekannt ist, denn sonst würde man diesen Fehler auch gar nicht bemerken.

In den Skizzen kann man klar erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nach links verlagert haben (neue Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4). Trotzdem fallen auch noch bei der zweiten Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten in den Annahmebereich der ersten Verteilung. Die kumulierte (summierte) Wahrscheinlichkeit, die in diese Grenzen fällt ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (β-Fehler).

Diese kann man mithilfe der integralen Näherungsformel von Moivre und Laplace berechnen, die Grenzen sind noch vom Test vorher bekannt (σ-Umgebung).

Diese lautet:


Die Werte müssen in einer Formelsammlung herausgesucht werden. Dann ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:


Das heißt, der β-Fehler hat doch eine beachtliche Wahrscheinlichkeit von 74,12 %, was dadurch zu erklären ist, dass die Erfolgswahrscheinlichkeit p1 = 0,4 sehr nah an der ursprünglichen Erfolgswahrscheinlichkeit p0 = 0,5 liegt.

Angemerkt werden sollte noch, dass die Laplace-Bedingung, dass die Standardabweichung σ > 3 ist, ganz knapp nicht mehr erfüllt ist, was vermutlich aber keine größere Auswirkungen haben wird.

Einseitiger Hypothesentest

Bis hier hin wurde geprüft, ob eine Wahrscheinlichkeit signifikant nach oben und unten abwich. Manchmal interessiert einen auch nur eine Richtung oder man hat eine Vermutung, wohin es abweichen wird. Dann ist ein einseitiger Hypothesentest angemessen.


Nur zur Veranschaulichung wurde n auf 20 reduziert

An sich funktioniert das genauso. Wenn das Signifikanzniveau wieder 5 % betragen soll, muss die σ-Umgebung eben so gewählt werden, dass, wenn man sich den Test beidseitig vorstellt, innen 90 % sind, weil beim linkseitigen z. B. rechts noch mal 5 % zum Annahmebereich dazu kommen.

Für den linkseitigen berechnet man die linke Grenze dann mit µ - 1,64σ, die rechte Grenze ist n.

Analog für den rechtseitigen: µ + 1,64σ. Die linke Grenze ist dann 0.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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