Kettenregel

Ableitung von zwei miteinander verketteten Funktionen

Kettenregel


Es soll gezeigt werden, dass folgendes gilt:




Folgendes wird angenommen:

Gesucht zur Funktion f(x) = (sin x)n ist die Ableitungsfunktion f’(x):

f(x) = (sin x)n
f’(x) = n ∙ (sin x)n-1 ∙ cos x

g(x) = (x7 + 4x)6
g’(x) = 6(x7 + 4x)5 ∙ (7x6 + 4)

h(x) = (-3x² + cos x)4
h’(x) = 4(-3x² + cos x)3 ∙ (-6x – sin x)

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet:

Beispiele:

f(x) = sin (2x)

Äußere Funktion ist sin, abgeleitet: cos.
Innere Funktion ist 2x, abgeleitet: 2.

Die Ableitung ist nun: f’(x) = cos (2x) ∙ 2

f(x) = (x² + 2x)²
f’(x) = 2(x² + 2x) ∙ (2x + 2)

Für alle, denen das zu einfach ist:

f(x) = u(v(x))
f’(x) = u’(v(x)) ∙ v’(x)

Beispiel von oben:

f(x) = sin (2x)

u = sin u’ = cos
v = 2x v’ = 2

f’(x) = cos (2x) ∙ 2
f’(x) = u’ (v(x)) ∙ v’(x)

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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