Lagebeziehungen und Abstände zwischen Geraden und Punkten

Schnitt, Orthogonalität, parallel, identisch, Punkt zu Punkt,Punkt und Gerade

Lagebeziehungen und Abstände zwischen Geraden und Punkten


Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

Zuerst interessieren uns die Lagen zwischen zwei Geraden. Wir befinden uns in einer Ebene, das heißt wir können das auf einem Blatt Papier nachzeichnen und befinden uns nicht in einem Raum.

Da wir vielleicht Winkelmessung noch nicht beherrschen, interessieren uns nur ganz besondere Spezialfälle, nämlich:

1. Die Geraden schneiden sich in einem beliebigen Winkel (die Größe des Winkels ist vorerst unerheblich) in genau einem Punkt. Die Geraden nennen wir g und h, den Schnittpunkt nennen wir S.

2. Die Geraden schneiden sich und stehen dabei senkrecht zueinander (man sagt auch die Geraden sind orthogonal [orthogonal = senkrecht]), also stehen in einem rechten Winkel (90°) zueinander. Wir benennen die Geraden wieder mit g und h, den Schnittpunkt mit S und zeichnen zusätzlich den rechten Winkel ein.

3. Die Geraden schneiden sich nicht. Das nennen wir Parallelität. Das bedeutet auch, dass der Abstand der Geraden in jedem Punkt gleich ist. Außerdem können wir uns eine Hilfsgerade zeichnen, zu der beide parallelen Geraden senkrecht (orthogonal) stehen. Wir nennen die parallelen Geraden g und h und die Hilfsgerade i.

4. Die Geraden sind gleich, man könnte auch sagen, dass sie sich in unendlich vielen Punkten schneiden.

Abstand zwischen zwei Punkten

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die direkteste Verbindung zwischen diesen. So haben wir die Strecke zwischen zwei Punkten definiert, sodass die Strecke gerade diese Verbindung ist, das heißt die Länge dieser Strecke ist der Abstand zwischen diesen Punkten.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade ist ebenso die direkteste Verbindung, also die kürzeste Verbindungsstrecke vom Punkt zur Gerade. Die Verbindungslinie ist senkrecht (orthogonal) zur Gerade.

Wir können den Abstand folgendermaßen ermitteln. Wir haben in unserer Skizze einen Punkt P und eine Gerade g. Wir stechen mit dem Zirkel im Punkt P mit einem beliebigen Radius ein (dabei sollte darauf geachtet werden, dass man auf dem Papier bleibt und der Kreis die Gerade immerhin noch zweimal schneidet).

Wir erhalten also zwei Schnittpunkte auf der Gerade, wir nennen sie mal Q und R. Von diesen zwei Punkten aus zeichnen wir zwei neue Kreise mit demselben Radius wie vorher. Wenn wir alles richtig gemacht haben, schneiden sich die Kreise in zwei Punkten – das eine Mal im Punkt P. Dann zeichnen wir durch den Punkt P und den zweiten Schnittpunkt der Kreise eine Hilfsgerade, auf dieser Hilfsgerade zeichnen wir die Strecke vom Punkt P zur Geraden g. Danach können wir diese Strecke mit dem Lineal messen. Die Strecke ist rechtwinklig zur Gerade g und deshalb die kürzeste Strecke.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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