Funktionsbegriff

Definition von Funktion, Definitionsbereich (Definitionsmenge), Wertebereich (Zielbereich)

Funktionsbegriff


Der Definitionsbereich (auch Definitionsmenge genannt) ist die Menge an Zahlen, der wir eine bestimmte Zahl aus dem Wertebereich (auch: Zielbereich) zuordnen. Diese Zuordnung nennen wir Funktion. Sie ist eine eindeutige Vorschrift. Wir wollen uns das praktisch anhand eines Koordinatensystems vorstellen. Wir haben eine x-Achse und eine y-Achse. Wir nehmen eine Zahl x von der x-Achse (unserem Definitionsbereich) und wenden auf sie unsere Funktion f an, also setzen das x in unsere Funktion ein: f(x). Dann erhalten wir eine Zahl y von der y-Achse (unserem Wertebereich).

Als Beispiel haben wir schon eine lineare Funktion mit der Funktionsvorschrift gewählt. Zuerst definieren wir unseren Definitionsbereich. Die Frage ist, welche Werte wollen wir für x einsetzen und welche Werte dürfen wir überhaupt einsetzen? Wir sehen, egal welches x wir einsetzen, wir tun nie etwas Verbotenes, zum Beispiel durch Null teilen, also müssen wir uns mit der Frage, ob wir irgendetwas ausschließen müssen nicht weiter beschäftigen. Wir wollen zu allen rationalen Zahlen Funktionswerte zuordnen (das legen wir einfach so fest), also definieren wir die Menge als unsere Definitionsmenge. Wir schreiben übrigens für unseren Definitionsbereich für gewöhnlich entweder ein großes X (in Anlehnung an die x-Achse), also , oder ein großes D (wie Definitionsbereich), also . Wir werden vor allem das D verwenden.

Sollte in der Aufgabenstellung der Definitionsbereich nicht angegeben sein, darf man sich beliebig einen wählen, zumindest theoretisch. Meistens meint man dann aber alle möglichen x-Werte. Trotzdem wollen wir unseren Definitionsbereich auch noch anders definieren, um zu zeigen wie man das aufschreibt.

Wir wollen nur zu den x-Werten – 2, – 1, 0, 1 und 2 unsere Funktionswerte ausrechnen. Dann schreiben wir für unseren Definitionsbereich:

Bei der Schreibweise muss man etwas vorsichtig sein, es handelt sich hierbei um Mengen, sodass wir um die Werte Mengenklammern (geschweifte Klammern) machen müssen.

Zu unserem Definitionsbereich wollen wir die Werte ausrechnen, es sind schließlich nur fünf. Das machen wir in einer Wertetabelle. Zur Erinnerung, die Funktionsvorschrift lautete

Wir dürfen diese Werte, wenn wir sie in ein Koordinatensystem eintragen, bei unserem gegebenen Definitionsbereich nicht miteinander verbinden, denn die anderen Werte auf der Geraden gehören zu x-Werten, die wir nicht in unserem Definitionsbereich haben.

Noch weitere Definitionsbereiche, die wir hätten wählen können:


Das heißt: alle natürlichen Zahlen vereinigt mit der Null, alle natürlichen Zahlen und die Null.


Das heißt: alle rationalen Zahlen ohne die 1.


Das heißt: alle ganzen Zahlen.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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