Lineare Funktion

Von der proportionalen Funktion zur linearen Funktion

Lineare Funktion


Vielleicht erinnern wir uns noch an die proportionale Zuordnung. Eine proportionale Funktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Wir haben für sie eine Funktionsvorschrift y = m · x, wobei m hierbei der Proportionalitätsfaktor ist. Später werden wir sehen, dass dieses m für die Steigung der Geraden verantwortlich ist.

Wir gehen einen Schritt weiter und wollen auch Geraden betrachten, die nicht durch den Ursprung gehen. Wir gucken uns einen Graph (also die Funktionsgerade) einer proportionalen Funktion an und überlegen uns, wie wir sie verschieben können.

Wir haben hier eine Ursprungsgerade mit der Geradengleichung und wollen diese jetzt um 2 nach oben verschieben. Was müssen wir also mit jedem einzelnen Funktionswert machen? Wir sehen uns den Punkt (0|0) an und überlegen, wie wir in verschieben. Da wir ihn senkrecht zu x-Achse, also parallel zur y-Achse verschieben, ändert sich der x-Wert vom neuen, also verschobenen Punkt nicht. Also müssen wir den y-Wert vom Punkt (0|0) so ändern, dass am Ende (0|2) herauskommt. Wir addieren zu dem y-Wert also 2 und erhalten den neuen y-Wert.

y = 0 wird zu y = 0 + 2 = 2

Das machen wir auch mit anderen y-Werten:

y = 0,5 wird zu y = 0,5 + 2 = 2,5
y = 1 wird zu y = 1 +2 = 3
usw.

Was liegt also näher, gleich bei der Funktionsvorschrift jeden Wert um 2 zu erhöhen? Also statt , schreiben wir für die neue und verschobene Funktion:

Wir sagen: Jede Funktion, die von der Form y = m · x + b ist, bezeichnen wir als lineare Funktion. Wobei y = f(x) der Funktionswert ist, m die Steigung der Geraden darstellt, x die Variable und b der y-Achsenabschnitt ist.

Im Folgenden werden wir uns mit den Fragen beschäftigen:

Wie zeichne ich eine lineare Funktion, wenn die Funktionsvorschrift vorgegeben ist?
Was ist die Steigung und wie kann ich sie aus einer Zeichnung ablesen bzw. wie bestimmte ich sie, wenn mir zwei Punkte gegeben sind?
Was ist der y-Achsenabschnitt und wie bestimme bzw. berechne ich ihn?
Was ist eine Nullstelle und wie berechne ich sie?
Wie erstelle ich eine Funktionsvorschrift, wenn mir zwei Punkte vorgegeben sind?

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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