Lineare Gleichungen

Lösungsmengen von linearen Gleichungen

Lineare Gleichungen


Bevor wir lineare Gleichungssysteme lösen wollen, müssen wir erst einmal klären, was eine lineare Gleichung ist. Diese Art von Gleichungen sind von der Form ax + by = c. Wir wollen die Lösungsmenge von einer linearen Gleichung untersuchen. Wir sehen uns ein Beispiel an:

10x + 5y = 5

Wir könnten jetzt ausprobieren, was wir einsetzen können und was nicht. Wie würden wir dann vorgehen? Wir würden für x etwas einsetzen und dann eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten und diese entsprechend umstellen und die Unbekannte ausrechnen. Das würden wir für jeden Versuch wiederholen und würden viele Lösungen erhalten von der Form (x|y). Deshalb setzen wir nichts für x ein und stellen trotzdem nach y um und sehen:

10x + 5y = 5      | – 10x
5y = – 10x + 5  | : 5
y = – 2x + 1

Wenn wir jetzt etwas für x einsetzen, erhalten wir einen Wert für y, dieses Paar aus x und y erfüllt die obige Gleichung. Genau genommen erfüllt jedes Paar was wir ausrechnen die Gleichung und deshalb ist das auch unsere Lösungsmenge. Man schreibt das so:

Wörtlich übersetzt heißt das: Die Lösungsmenge ist gleich das Paar aus x und y mit der Eigenschaft, dass y gleich – 2x + 1 ist, wobei x ein Element der rationalen Zahlen ist.

Verständlich übersetzt: Jedes Paar aus x und y ist Lösung für die Gleichung, wenn y gleich – 2x + 1 ist, wobei wir für x rationale Zahlen einsetzen.

Auf den Punkt gebracht: Wir erhalten als Lösungsmenge eine Geradengleichung. Also alle möglichen Lösungen liegen auf der ausgerechneten Gerade

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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