Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramm, Pfadmultiplikation, Pfadaddition

Mehrstufige Zufallsexperimente


Einstufige Zufallsexperimente werden durch mehrmals hintereinander Ausführen zu mehrstufigen Zufallsexperimenten. Beispiele hierfür sind das mehrfache Würfeln oder das Ziehen von Kugeln aus Urnen. Unsere Ergebnisse schreiben wir dann als Paare (2|6), Tripel (2|6|6), 4-Tupel (2|6|6|1) usw.

Ein geeignetes Instrument zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Experimenten ist das Baumdiagramm. Wir wollen als Beispiel drei Kugeln aus einer Urne ziehen, in der sich 2 blaue und 6 grüne Kugeln befinden, ohne die Kugeln danach zurückzulegen. Wir ziehen das erste Mal, entweder erhalten wir eine blaue oder eine grüne Kugel. Das heißt, im ersten Schritt hat unser Baum zwei Äste.

Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Pfad stehen direkt am Pfad. Es muss noch nichts berechnet werden. Wir überlegen uns den nächsten Schritt. Wenn wir eine blaue Kugel im ersten Schritt gezogen haben, dann können wir im nächsten Schritt entweder eine blaue oder eine grüne Kugel ziehen. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich allerdings, weil wir im ersten Schritt schon eine blaue Kugel gezogen haben und jetzt nur noch eine blaue und sechs grüne Kugeln in der Urne sind. Wir zeichnen zwei Äste mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten. Das gleiche Vorgehen auch für den Fall, dass wir im ersten Schritt eine grüne Kugel gezogen haben. Das ergibt also folgendes Baumdiagramm.

Pfadmultiplikation

Jetzt können wir nicht mehr einfach die Wahrscheinlichkeiten ablesen, sondern müssen sie ausrechnen. Das ist Bruchrechnung. Denn schon beim ersten Versuch hatten wir Wahrscheinlichkeiten als Anteile, jetzt im zweiten Schritt haben wir Anteile von diesem Anteil. Das erinnert an Multiplikation von Brüchen. Wir rechnen beispielhaft die Wahrscheinlichkeit aus, in zwei Schritten zwei blaue Kugeln zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit im ersten Schritt eine blaue Kugel zu ziehen ist . Im zweiten Schritt beträgt sie . Also rechnen wir von aus und erhalten:

Und so können wir das jetzt immer machen. Erst einmal alle Einzelwahrscheinlichkeiten überlegen und das Baumdiagramm zeichnen. Danach für jedes einzelne Ergebnis die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadmultiplikation ausrechnen.

Für unser Experiment – drei Kugeln aus der Urne ziehen – erhalten wir das folgende Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen Pfades:

Pfadaddition

Doch das ist noch nicht genug. Denn wir werden häufiger nach Ereignissen gefragt, zum Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim dreifachen Ziehen zwei grüne und eine blaue Kugel zu ziehen und seltener nach einem direkten Ergebnis, was sich nur auf einen einzigen Pfad bezieht, zum Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim dreifachen Ziehen im ersten Schritt eine grüne Kugel ziehen, im zweiten Schritt wieder eine grüne Kugel und im dritten Schritt eine blaue Kugel ziehen.

Der Unterschied zwischen den beiden liegt darin, dass es für das Ereignis mehrere Pfade gibt und für das einzelne Ergebnis nur einen Pfad. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades rechnen wir mit der Pfadmultiplikation aus. Gehören zu unserem Ereignis mehrere Pfade, dann addieren wir einfach die Ergebnisse der einzelnen Pfade zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit.

Beispiel

Wir wollen die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis ausrechnen, zwei grüne und eine blaue Kugel zu ziehen.

Wir schreiben für dieses Ereignis: E = {g, g, b}

Anmerkung: Dass wir das Ereignis in Mengenklammern {g, g, b} schreiben, sagt, dass die Reihen folge beliebig ist. Schreiben wir in runden Klammern (g, g, b), so ist genau diese Reihenfolge gemeint.

Wir wollen aber die Wahrscheinlichkeit von E = {g, g, b} ausrechnen. Wir suchen in unserem Baumdiagramm alle Pfade, die dazu gehören und addieren am Ende die Wahrscheinlichkeiten miteinander.

Dann schreiben wir unsere Rechnung folgendermaßen auf:

Übrigens: Wenn man alle Pfadwahrscheinlichkeiten addiert, so erhält man 1.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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