Mengenlehre - Eine Einführung

Menge der natürlichen Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, Mengenoperationen

Mengenlehre - Eine Einführung


Dieses Thema wird in der Schule fast gar nicht oder nur sehr wenig behandelt. Trotzdem sollte jeder Mathematikinteressierte sie kennen: die Mengen.

Die folgenden Mengen und Mengenoperationen sollen hier kurz anhand kleiner Beispiele vorgestellt werden.

Die Menge der natürlichen Zahlen,
die Menge der ganzen Zahlen,
die Menge der Bruchzahlen
zwei beliebige Mengen A und B.

Mengenoperationen:
Vereinigung zweier Mengen,
Durchschnitt zweier Mengen,
Differenz zweier Mengen.

Natürliche Zahlen

Zuerst nehmen wir die natürlichen Zahlen. Wir legen fest, dass jede Zahl ein Keks ist, das heißt, statt 1 haben wir jetzt Keks1, statt 2 Keks2, Keks3, Keks4 und so weiter. Diese Kekse haben wir frisch gekauft, das heißt, sie sind nicht zerbrochen, also ganz und wir wollen sie jetzt auch noch nicht essen, sondern erst einmal zurücklegen.

Und so sieht das aus:nonnegint[Keks] = {Keks1, Keks2, Keks3, () .. ()}

Das bedeutet unsere Keksschachtel mit keinem zerbrochenen Keks stellt jetzt unsere Menge der natürlichen Zahlen dar.

Der rote Kreis ist unsere Menge der natürlichen Zahlen.

Ganze Zahlen

Kommen wir zu den ganzen Zahlen. Wie der Name schon sagt, sie sind ganzzahlig wie die natürlichen Zahlen, allerdings gibt es jetzt auch negative Zahlen (diese bekommen vor die Zahl ein Minus). Wir stellen uns das in unserem Beispiel jetzt so vor: Wir haben einen kleinen Bruder, wir kaufen immer Kekse ein, aber auf mysteriöse Weise wird die Dose zwischendurch auch leerer. Seine Hand, die die Kekse rausholt, scheint also das Gegenteil zu bewirken. Wir sagen also, die Hand unseres Bruders ist ein negativer Keks.

Die ganzen Zahlen sehen folgendermaßen aus:integer[Keks] = {Keks0, Keks1, Keks2, Keks3, `+`(`-`(Keks1)), `+`(`-`(Keks2)), () .. ()} 

Allgemein werden die ganzen Zahlen so geschrieben: integer = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, () .. ()} 

Keksdose der natürlichen und negativen Kekse

In dem Bild stellen wir negative Kekse als unbesetzten Platz dar, denn dort scheinen die Kekse immer zu verschwinden. Die natürlichen Zahlen werden wieder mit einem roten Kreis dargestellt, die ganzen Zahlen grün.

Bruchzahlen

Zu den Bruchzahlen: Jetzt backen wir selbst ein paar Kekse. Um Platz zu sparen, schmeißen wir unsere selbstgebackenen Kekse mit den gekauften in eine Dose. Dabei zerbrechen einige. Einige zerbrechen in genau zwei gleich große Teile, andere in drei, vier oder fünf. Aber nicht alle zerbrechen. Das bedeutet, dass wir in unserer Bruchzahlenkeksmenge sowohl ganze, positive Kekse (natürliche Zahlen), negative (unser Bruder) und positive ganze Kekse (ganze Zahlen) als auch zerbrochene Kekse (Bruchzahlen) enthalten haben

Die Bruchzahlen schreiben wir mal so:rational[Keks] = {`*`(`*`(`*`(alle, `*`(zerbrochenen, `*`(und, `*`(nicht)))), zerbrochenen), `*`(Kekse))} 

Das Q steht für Quotienten. Ein Quotient ist das Ergebnis beim Teilen/Dividieren. Natürlich könnte man die Bruchzahlen auch mit einem B darstellen, also so: `𝔹`[Keks] = {`*`(`*`(`*`(alle, `*`(zerbrochenen, `*`(und, `*`(nicht)))), zerbrochenen), `*`(Kekse))}
Man hat sich allerdings auf dieses Q geeinigt.

Keksdose ist Menge der rationalen Zahlen

Rot sind wieder die natürlichen Zahlen, hellblau sind die negativen Zahlen, grün wieder die ganzen Zahlen, lila die rationalen Zahlen (Bruchzahlen).

Beliebige Mengen

Man kann auch noch völlig beliebig andere Mengen definieren. Zum Beispiel könnte man sagen, eine Menge A sei alle rosa-karierten Kekse. Man schreibt: A={alle rosa-karierten Kekse}.

Oder wir definieren eine Menge, in der alle Kekse mit Schokoladenüberzug enthalten sind und nennen diese B: B={alle Kekse mit Schokoladenüberzug}.

Man kann praktisch alles zu Mengen zusammenfassen.

Mengenoperationen

Mengen können ganz oder teilweise in anderen Mengen enthalten sein. Wir nehmen zuerst ein Beispiel, bei dem alle Elemente einer Menge in einer anderen sind, und zwar nehmen wir wieder unser Keksbeispiel zur Hilfe. Alle ganzzahligen, positiven Kekse sind die Menge der natürlichen Zahlen, in der Menge der ganzen Zahlen (positive und negative Kekse) sind die positiven, ganzen Kekse enthalten. Wir sagen: die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen und schreiben dafür:

`subset`(nonnegint, integer) 

Wenn wir weiter überlegen, kommen wir zu dem Schluss, dass die ganzen Zahlen in den Bruchzahlen enthalten sind:

Natürliche Zahlen sind Teilmenge von ganzen Zahlen sind Teilmenge von den Bruchzahlen:

 

Es ist aber auch klar, dass kein Keks von allen rosa-kariert ist. Also ist unsere Menge A weder natürlich, noch ganzzahlig, noch eine Bruchzahl. Die Menge A ist nicht Teilmenge von all diesen Zahlen.

`⊈`(A, rational) 

Vereinigung und Durchschnitt und Differenz zweier Mengen A und B

Wir könnten uns als Beispiele auch neue Mengen ausdenken, aber wir verwenden einfach die Menge von oben, dort war Menge A={alle rosa-karierten Kekse} und Menge B={alle Kekse mit Schokoladenüberzug}. Wir nehmen an, dass es rosafarbende Schokolade gibt, sodass es Kekse gibt, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind.

A und B

Vereinigung zweier Mengen

Die Vereinigung zweier Mengen, geschrieben `union`(A, B), bedeutet eine neue Menge, in den alle Elemente/Kekse aus der Menge A und aus der Menge B enthalten sind. Das heißt es ist egal, ob der Keks rosa-kariert oder mit Schokolade überzogen ist, er gehört zur neuen Menge. Im Bild ist alles hellblau markiert, was zu der Vereinigungsmenge gehört:

A vereinigt B

Also: `union`(A, B) = {`*`(alle, `*`(Kekse, `*`(mit, `*`(Schokoladenüberzug)))), `*`(alle, `*`(rosa, `*`(karierten, `*`(Kekse))))} 

Durchschnitt zweier Mengen

Man sagt zum Durschnitt zweier Mengen auch Schnittmenge. In dieser Menge, geschrieben `intersect`(A, B), sind alle Elemente/Kekse enthalten, die von ihrer Eigenschaft her in beiden Mengen enthalten sind.

Durchschnitt A B

Man schreibt also: `intersect`(A, B) = {`*`(alle, `*`(Kekse)), `*`(die, `*`(sowohl, `*`(rosa, `*`(kariert, `*`(als, `*`(auch, `*`(schokoladenüberzogen, `*`(sind))))))))}

Differenz zweier Mengen

Wir nehmen die Differenz der Menge A und Menge B, man schreibt: A \ B.

Differenz Menge A Menge B

Es bedeutet also alle rosa-karierten Kekse, aber nicht die, die in ihrem Überzug Schokolade haben.

Man schreibt also: `minus`(A, B) = {`*`(`*`(`*`(alle, `*`(rosa, `*`(karierten, `*`(Kekse, `*`(ohne, `*`(die, `*`(mit))))))), rosa), `*`(kariertem, `*`(Schokoladenüberzug)))} 

 

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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