Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks

Definition, Konstruktion einer Mittelsenkrechten und Zusammenhang mit Umkreis

Mittelsenkrechte und Umkreis eines Dreiecks


Die Mittelsenkrechte ist eine Gerade, die senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese Strecke in der Hälfte teilt. Ganz formal ist die Definition, dass die Mittelsenkrechte (oder auch Streckensymmetrale) die Menge aller Punkte ist, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben. Das läuft aber auf unsere vereinfachte Vorstellung heraus. Wir haben zwei gegebene Punkte und jeder Punkt von der Mittelsenkrechten hat den gleichen Abstand zu dem einen Punkt, aber gleichzeitig auch zu dem anderen.

Und deshalb: Die Mittelsenkrechte m ist eine Gerade, die eine Strecke halbiert und dabei senkrecht zu ihr verläuft:

In einem Dreieck können wir bei drei Strecken a, b und c drei Mittelsenkrechten finden. Sie haben dabei eine interessante Eigenschaft im Zusammenhang mit dem Umkreis eines Dreiecks. Wir wollen aber zuerst einmal die Mittelsenkrechten in ein Dreieck einzeichnen. Das geht übrigens am besten mit dem Zirkel. Wir wollen zuerst die Mittelsenkrechte auf der Strecke c einzeichnen. Dafür wählen wir den Radius des Zirkels mindestens ein bisschen mehr als die Hälfte der Strecke c. Dann machen wir einen Kreis um Punkt A und den gleichen Kreis auch um Punkt B. Die Kreise schneiden sich zweimal. Durch die Schnittpunkte ziehen wir eine Gerade. Das ist die Mittelsenkrechte zur Strecke c.

Wenn wir das gleiche auch noch mit den Strecken a und b machen, erhalten wir folgendes Bild:

Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Das Interessante daran ist, dass der Kreismittelpunkt der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist. Das heißt wir ziehen jetzt einen Kreis mit dem Radius |MA| oder |MB| oder |MC| um den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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