Monotonie

Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion

Monotonie von Funktionen


In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist, monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.

Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, jedoch nicht konstant sind.

Doch wie sind die Zusammenhänge zwischen der Funktion und ihrer Ableitung?

Wir wollen die Monotonie einer Funktion dritten Grades anhand eines Beispiels erklären. Wir untersuchen die folgende Funktion auf Monotonie:

Wir wollen jetzt also klären, wann steigt die Funktion an und wann fällt sie. Für die Steigung an jedem Punkt der Funktion haben wir die Ableitungsfunktion. Wenn die Ableitungsfunktion einen positiven Wert hat, dann steigt unsere Funktion an. Wenn die Ableitungsfunktion einen negativen Wert hat, dann fällt unsere Funktion. Um also eine Aussage darüber zu treffen, in welchen Intervallen die Funktion steigt und fällt, untersuchen wir die Ableitungsfunktion auf positive Werte und negative Werte, genau genommen auf die Stellen, an denen sie von positiv zu negativ wechselt. Und das heißt nichts anderes, dass wir die Nullstellen der Ableitungsfunktion suchen, dann gucken, sind links von der ersten Nullstelle von links die Werte positive Ableitungsfunktionswerte, dann steigt bis dahin der Funktionsgraph. Dann sehen wir, ob rechts von dieser Nullstelle die Werte positiv oder negativ sind und entscheiden so, ob sie weiter steigt oder ob sie fällt. Und das machen wir immer weiter so.

Zuerst bilden wir also die Ableitung von unserer Funktion:


Jetzt suchen wir die entscheidenden Stellen, die Nullstellen der Ableitungsfunktion:

Bei – 2 und 4 ändert sich also irgendwie die Monotonie. Wir überprüfen drei x-Werte auf Positivität oder Negativität, nämlich einmal links von – 2 dann zwischen – 2 und 4 und zuletzt rechts von 4. Wir überprüfen x = – 3, x = 0 und x = 5. Wir wollen wissen, ob die Ableitungswerte links und rechts größer oder kleiner als Null sind, also müssen wir diese x-Werte in die Ableitungsfunktion einsetzen!

Wir können das folgendermaßen angeben:

Für x < – 2, f(x) ist monoton wachsend,
für – 2 < x < 4, f(x) ist monoton fallend,
für x > 4, f(x) ist monoton wachsend.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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