Poisson-Verteilung

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Poisson-Verteilung


Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung wird auch Poisson-Approximation genannt und beschreibt, wie der Name schon sagt, die Annäherung, und zwar an eine Binomialverteilung. Dabei müssen allerdings einige Bedingungen erfüllt sein: Der Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X) müssen nahezu gleich sein (E(X) = µ und V(X) = µ). Das kommt aber auch nur hin, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit p sehr klein und der Stichprobenumfang n recht groß ist, sodass die Komplementärwahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit) q fast 1 ist und somit die Differenz zwischen E(X) = n∙p und V(X) = n∙p∙q vernachlässigbar klein ist.

Als Beispiel soll das Glückspiel Roulette dienen, bei dem auf einem Rad 37 gleich große Fächer mit den Zahlen von 0 bis 36 existieren. Dieses soll nun 37 mal gedreht werden, um zu zeigen, dass das erwartete Ereignis, dass jede Zahl einmal getroffen wird, wahrscheinlich doch nicht eintreten wird.

Dazu werden die Ereignisse betrachtet, dass ein Ereignis gar nicht auftritt, genau einmal oder mehr als einmal auftritt. Zum Beispiel soll die Null getroffen werden, wie wahrscheinlich ist es nun, dass diese gar nicht getroffen wird: Die Wahrscheinlichkeit wird mit der Formel für Binomialverteilungen ausgerechnet. Erfolgswahrscheinlichkeit ist p =, für Nicht-Erfolg dann q =; E(X) = 1 und V(X) = 0,97. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die Null nicht trifft:

Dafür, dass man die Null genau einmal trifft:

Und zum Schluss dafür, dass man die Null mehr als einmal trifft:

Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu 0-mal und einmal, also
1 – (P(X = 0) + P(X = 1)) = 0,27

 

Das erste Ereignis, dass die Null keinmal getroffen wird kann man auch kürzer oder allgemein schreiben. Und das ist aus der Analysis bekannt gleich.

Für genau einmal treffen steht dann:

Für den Rest, das heißt mehr als einmal, bleibt dann:

Das 1/e-Gesetz

Man kann diese Ergebnisse als -Gesetz festhalten: Bei einem Zufallsversuch mit n gleichwahrscheinlichen Ergebnissen, den man n-mal durchführt, müsste erwartungsgemäß jedes der möglichen Ergebnisse im Mittel einmal vorkommen. Dies ist allerdings nicht der Fall. In Wirklichkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ergebnis keinmal bzw. einmal auftritt jeweils 37 % und dass ein Ergebnis mehr als einmal auftritt 26 %.

Um auf das Beispiel Roulette zurückzukommen und um es sich besser vorstellen zu können: Wenn man die Kugel, nachdem man gedreht hat, auf das entsprechende Feld legt, werden 37 % der Felder leer bleiben, auf 37 % werden genau eine Kugel kommen und auf 26 % der Felder wird mindestens eine Kugel gelegt werden.

Die drei Formeln, und können nun auch noch verallgemeinert werden, wenn man statt sie n-mal durchzuführen ein Vielfaches von n-mal durchführt.

Dann wird aus
gleich

aus

gleich

und aus

gleich

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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