Potenzrechnung

Potenzen mit natürlichem Exponenten, mit negativem Exponenten, n-te Wurzel, mit rationalem Exponenten

Potenzrechnung


Vergleichbar, wie die Multiplikation eine Kurzschreibweise für die Addition gleicher Summanden ist, so ist die Potenz eine Kurzschreibweise für die Multiplikation gleicher Faktoren.

Wir benötigen einige begriffliche Festlegungen:

Die Potenz besteht also aus zwei Bestandteilen, zum einen aus der Basis, zum anderen aus dem Exponenten. Wir sagen Zahl a hoch Exponent x, also für 3² sagen wir „drei hoch zwei“ (oder auch „drei Quadrat“).

Potenzen mit natürlichem Exponenten

Wir potenzieren eine Zahl mit natürlichen Zahlen, also ganzen, positiven Zahlen, wobei wir die Null auch zulassen wollen. Die Zahl nennen wir allgemein a und den Exponenten n (weil er eine natürlich Zahl ist).

Zuerst definieren wir „hoch Null“. Jede Zahl hoch Null soll Eins sein.

Beispiele:

wird unterschiedlich behandelt. Manchmal wird es auch gleich Eins gesetzt, manchmal wird es einfach nicht definiert. Taschenrechner geben möglicherweise einen Fehler zurück.

Als nächstes „hoch Eins“. Jede Zahl hoch Eins soll sich selbst ergeben.

Beispiele:

Abschließend definieren wir „hoch n“. Das ist der allgemeine Fall, wobei n größer als Eins sein muss (hoch Eins und Null haben wir schon definiert). Eine Zahl a mit n zu potenzieren, bedeutet, diese Zahl n-mal mit sich selbst zu multiplizieren.

Das bedeutet für n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 und so weiter:

Beispiele:

Potenzen mit negativem (ganzzahligem) Exponenten

Unsere Basis nennen wir wieder a und unseren Exponenten wieder n, wobei wir beim Potenzieren vor das n ein Minus schreiben. Wir müssen allerdings vorher noch a gleich Null ausschließen, weil wir nicht durch Null teilen dürfen. Es gilt:

Für den Nenner gilt alles, was für Potenzen mit natürlichem Exponenten gilt.

Beispiele:

Zahlenbeispiele:

Potenzen mit Stammbruch im Exponenten oder auch n-te Wurzel

Wir betrachten jetzt Potenzen, bei dem der Exponent ein Bruch ist, speziell ein Stammbruch (der Zähler ist Eins, der Nenner eine beliebige natürliche Zahl). Die Basis nennen wir wieder a, den Nenner des Exponenten bezeichnen wir mit n. Dann definieren wir diese Potenz als die n-te Wurzel.

Beispiele:

Zahlenbeispiele:

Das funktioniert natürlich auch mit negativem Exponenten, dabei rutscht die n-te Wurzel in den Nenner, also:

Beispiel:

Vorsicht: Für gerade n bei n-ten Wurzeln dürfen die Basen nicht negativ sein. Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten

Wir können alle möglichen Exponenten hintereinander ausführen. Das ist dann Potenzieren mit einer rationalen Zahl. Den Exponenten nennen wir jetzt m durch n.

Hierbei kann man möglicherweise im Exponenten schon kürzen. Es ist dabei unerheblich in welcher Reihenfolge man potenziert oder die n-te Wurzel zieht.

Es müssen alle bisherigen Regeln beachtet werden. Sollte der Exponent negativ sein, so muss man für die Basis Null ausschließen, sollte n gerade sein, so darf die Basis nicht negativ sein.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

Suche

Facebook


© Mathematik-Wissen 2012 | Inhaltsübersicht | Kontakt | Impressum