Produktregel

Regel für die Ableitung eines Produktes von zwei Funktionen

Produktregel


Gesucht ist eine Regel für die Ableitung eines Produkts von zwei Funktionen!

f(x) = u(x) ∙ v(x)

f’(x) =


= u’(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v’(x)

= u’(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v’(x)

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotient (Ableitung) wie auch schon in der früher die Ableitungsregeln hergeleitet wurden. Der Trick hier ist, dass eine Null eingefügt worden ist (rot markiert), nachdem das Produkt in die Standardform eingesetzt worden ist. Durch Umformen kommt man dann wiederum zu zwei Produkten, wobei ein Faktor jeweils die Ableitung von den ehemaligen Faktoren ist, der andere Faktor die Funktion selbst darstellt.

Beispiele:

f(x) = (x²-4)(x³+1)
u(x) = x²-4 u’(x) = 2x
v(x) = x³+1 v’(x) = 3x²

f’(x) = 2x(x³+1) + (x²-4)3x²
f’(x) = 2x4+2x+3x4-12x²
f’(x) = 5x4+2x-12x²

g(x) = x² ∙
u(x) = x² u’(x) = 2x
v(x) = v’(x) =
g’(x) = 2x + x²
g’(x) =2x+
g’(x) =2x+

g’(x) =2x+ x
g’(x) =2,5x
g’(x) =2,5

g’(x) = 2,5x1,5

 

h(x) = x² cos(x)

h’(x) = x² (- sin(x)) + cos(x) 2x

h’(x) = - x² sin(x) + cos(x) 2x

Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f(x) = u(x) ∙ v(x) differenzierbar und es gilt: f’(x) = u’(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v’(x). Kurzform: (u∙v)’ = u’v + uv’.

Für Produkte mit drei Faktoren:

f(x) = uvw
f(x) = uz

z(x) = vw
z’(x) = v’w + vw’

f’(x) = u’z + uz'
f’(x) = u’vw + u(v’w + vw’)
f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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