Quadratische Ergänzung

Binomische Formel anwenden

Quadratische Ergänzung


Die quadratische Ergänzung ist eine Anwendung der binomischen Formel, also konkret der Formeln (x + d)² = x² + 2xd + d² und (x – d)² = x² – 2xd + d². Dabei werden sie rückwärts angewendet. Gegeben ist zum Beispiel eine Funktionsvorschrift f(x) = x² + 4x – 3. Wir haben hier nur eine Variable, der andere Wert ist gegeben. Wir betrachten die Formel (x + d)² = x² + 2xd + d² und vergleichen mit x² + 4x – 3. Es fällt auf, die ersten beiden Summanden ähneln sich sehr und wir können unser d bestimmen, wenn wir 4 durch 2 teilen. Unser d ist also 2, danach fügen wir noch eine Null ein mit + d² – d² (das ist die eigentliche quadratische Ergänzung) und erhalten unsere Funktionsvorschrift in der Form: f(x) = x² + 4x + 4 – 4 – 3 = (x² + 4x + 4) – 4 – 3 = (x + 2)² – 7.

Die einzelnen Schritte noch einmal übersichtlicher geschrieben:

x² + 2xd + d² = (x + d)²   ist unsere Vergleichsformel

x² + 4x – 3                      ist unsere Funktion f(x)

Wir ergänzen x² + 4x quadratisch mit 2² und ziehen es aber auch gleich wieder ab, um nicht unsere Funktion zu verändern:

x² + 4x + 4 – 4 – 3          ist unsere quadratisch ergänzte Funktion

Wir schreiben x² + 4x + 4 als (x + 2)², die Summanden, die wir für die binomische Formel nicht benutzen addieren oder subtrahieren wir am Ende:

(x + 2)² – 4 – 3
(x + 2)² – 7

Die quadratische Ergänzung werden wir für die Scheitelpunktform und zum Lösen von quadratischen Gleichungen brauchen.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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