Quadratische Gleichungen

Lösen mit PQ-Formel oder quadratischer Ergänzung

Quadratische Gleichungen


Als quadratische Gleichung bezeichnet man jede Gleichung, die man auf die Form ax² + bx + c = 0 bringen kann. Solche Gleichungen können wir mit der PQ-Formel lösen. Die Aufgaben könnten lauten, an welchen Stellen eine quadratische Funktion einen bestimmten Wert hat, an welchen Stellen sich eine Parabel mit einer Gerade schneidet oder an welchen Stellen sich zwei Parabeln schneiden.

Wir beginnen mit einem Beispiel, bei dem wir wissen wollen, an welchen Stellen eine Funktion einen bestimmten Wert r hat, also ax² + bx + c = r. Unser Beispiel: 2x² – 4x = 48.

Mit quadratischer Ergänzung

Mit PQ-Formel

Graphische Vorstellung

Jetzt wollen wir die Schnittpunkte von einer Parabel mit einer linearen Funktion, also einer Geraden bestimmen. Wir wollen die Schnittpunkte von der Funktion f(x) = x² – 2x + 1 mit der Funktion g(x) = 2x + 1.

Mit PQ-Formel

Die zugehörigen Schnittpunkte erhalten wir übrigens, wenn wir die x-Werte in eine der Ursprungsfunktionen einsetzen, also zum Beispiel g(0) = 1 ergibt den ersten Schnittpunkt P(0|1) und g(4) = 9 ergibt Punkt Q (4|9). Zur Kontrolle können wir f(0) berechnen, es muss 1 herauskommen und f(4), wir müssen 9 erhalten.

Graphische Vorstellung

 

Zuletzt noch ein Beispiel, bei dem wir die Schnittpunkte von zwei quadratischen Funktionen untersuchen. Wir untersuchen f(x) = x² - 2x + 1 und g(x) = 0,5x² + x + 4,5.

Mit PQ-Formel

Die Schnittpunkte berechnen wir, indem wir die x-Werte in die Ursprungsfunktion einsetzen: f(– 1) = 4, also Schnittpunkt bei (– 1|4) und f(7) = 36, also der zweite Schnittpunkt bei (7|36).

Graphische Vorstellung

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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