Rauminhalt und Rotationskörper

Volumen durch Rotation unter Funktionen

Rauminhalt und Rotationskörper


1. Rotation um die x-Achse

Ein Rauminhalt oder ein Volumen ist auch ein Integral. Es entsteht zum Beispiel, wenn man eine Funktion f(x) um die x-Achse rotieren lässt.

Beispiele:

1.1 Zylinder

Ein Zylinder entsteht durch die Rotation einer konstanten Funktion f(x) = c (in diesem Beispiel f(x) = 3) um die x-Achse

1.1.1 Berechnung des Volumen eines Zylinders

Es soll nun im Intervall [0;5] der Rauminhalt von dem Zylinder berechnet werden. Die allgemeine Formel für das Volumen eines Zylinder ist V = πr²·h. In diesem Fall ist r=3 und h=5. r ist aber auch der Funktionswert zu jedem x-Wert.

Nun betrachten wir vorerst aus der Formel V = πr²·h nur r²·h und suchen uns einen Weg dieses Volumen mit Hilfe der Integralrechnung zu berechnen. Die Fläche r·h wurde mit folgendem Integral berechnet:

Bildet man nun das Integral aus den unzählbaren Quadern (mit der quadratischen Fläche f(x) und der gegen Null laufenden Dicke dx), so ergibt sich:

D. h. dieses Integral ist nichts anderes als r²·h aus unserer obigen Formel für die Berechnung des Volumens eines Zylinders. Multipliziert man diesen mit π ergibt sich also:

Berechnung des Volumens dieses Zylinders:

Zum Vergleich:

1.2 Kegel

Ein Kegel entsteht bei der Rotation einer linearen Funktionen f(x) = mx (im Beispiel: f(x) = 0,5x) um die x-Achse.

1.2.1 Berechnung eines Kegels

Hier können wir nicht erst das Volumen eines Quaders berechnen. Man denke sich unter diesen Graphen viele Scheiben mit der Dicke dx wie oben, berechne die Fläche dieser Scheiben, die den Radius f(x) haben, die sog. Querschnittsfunktion und integriere dann über dem angegebenen Intervall [0;5].


Zum Vergleich in die Standardformel für das Volumen eines Kegels eingesetzt:

1.2 Kugel

  • Eine Kugel entsteht bei der Rotation der Funktion f(x) = um die x-Achse.

Auch diese Figur kann in Scheiben eingeteilt werden, deren Querschnittsfunktion q(x) = π[f(x)]² ist. Durch Integration dieser Scheiben kann wieder das Volumen berechnet werden.

In diesem Beispiel soll das Volumen berechnet werden, das entsteht, wenn man die Funktion f(x) = um die x-Achse rotieren lässt, in dem Intervall von Nullstelle zu Nullstelle, also [-1;1].

2. Rauminhalt von nicht rotierenden Körpern

2.1 Quader

Das Schaubild ist schon von der Raumberechnung des Zylinders bekannt, nur dass diesmal nichts rotiert.

Das Volumen kann als normaler Quader berechnet werden (V = r²h) oder wieder in Quadrate mit gegen Null laufender Dicke dx zerteilt werden. Dazu muss die Fläche des Querschnitts berechnet werden, also die Querschnittsfunktion q(x) aufgestellt werden. Diese muss dann integriert werden. Allgemein heißt das:

In diesem Beispiel ist die Querschnittsfunktion zufällig das Quadrat von der Randfunktion:
q(x) = [f(x)]²

Wenn wir die Funktion f(x) = 3 in dem Intervall von 0 bis 5 mit der Querschnittsfunktion q(x) = [f(x)]² = 9 integrieren, müssten wir

V = r²h = 45
erhalten:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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