Rekonstruktion von Funktionen

Funktionsrekonstruktion

Rekonstruktion von Funktionen


Bei der Rekonstruktion geht es darum, mit den gegebenen Informationen eine komplette Funktionsvorschrift zu erlangen.

Die Aufgabe könnte so lauten: Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in W (1|–2) eine Wendetangente mit der Steigung 2.

Die Standardfunktion dritter Ordnung: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Da eine Nullstelle sich bei O(0|0) befindet, muss d = 0 sein, d. h. es entfällt völlig.

0 = ax³ + bx² + cx
0 = x(ax² + bx + c) x1 = 0

f’(x) = 3ax² + 2bx + c
f’’(x) = 6ax + 2b

Beim x-Wert „1“ befindet sich ein Wendepunkt (die zweite Ableitung von 1 muss folglich Null sein).

f’’(1) = 0
0 = 6a + 2b

Dieser x-Wert „1“ hat die y-Koordinate „–2“, d. h. wenn man in die Funktion für x = 1 einsetzt, bekommt man –2 heraus.

f(1) = –2
–2 = a + b + c

In dem Wendepunkt ist die Steigung (erste Ableitung) gleich 2 (x = 1).

f’(x) = 2
2 = 3a + 2b + c

Es gibt die drei Unbekannten (a, b, c), die man mithilfe der drei Gleichungen herausbekommen kann. Dazu muss man diese nur geschickt kombinieren (durch das Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren).

I 0 = 6a + 2b -> –3a = b
II –2 = a + b + c -> –2 – a – b = c
III 2 = 3a + 2b + c

II in III eingesetzt:

2 = 3a + 2b + (–2 – a – b)
2 = 2a + b – 2 | + 2
IIa 4 = 2a + b

I in IIa eingesetz:

4 = 2a + (–3a)
4 = –1a | : (–1)
–4 = a

a in I eingesetz:

–3 ∙ (–4) = b
12 = b

 

a und b in III eingesetz:

–2 – (–4) – 12 = c
– 10 = c

Die rekonstruierte Funktion:

f(x) = –4x³ + 12x² – 10x


Rekonstruierte Funktion rot, Wendetangente blau, Punkt O bei (0|0) eingezeichnet und Wendepunkt W bei (1|-2).

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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