Satz des Pythagoras

c² = a² + b²

Satz des Pythagoras


Wir wollen die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten gegenüberliegt. Sie ist nebenbei auch die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck aufgrund der Dreiecksungleichung, das soll uns hier aber vorerst nicht interessieren. Wir wollen einfach nur die Länge der Hypotenuse berechnen.

Wir beginnen mit unserem Dreieck.

Als nächstes legen wir mit einem um 180° gedrehten gleichem Dreieck ein Rechteck, bei dem die Diagonale die Hypotenuse ist.

Nun legen wir aus vier solcher Rechtecke ein Quadrat, wichtig ist, dass die Hypotenusen ein Quadrat bilden.

Jetzt können wir Terme aufstellen für Flächeninhalte und c berechnen. Dafür gibt es mehrere Wege.

1. Möglichkeit

Wir wollen den Flächeninhalt vom Quadrat mit der Seitenlänge c durch andere Flächen ausdrücken. Das Quadrat besteht aus vier dieser rechtwinkligen Dreiecke und aus dem inneren Quadrat.

Der Flächeninhalt eines dieser Dreiecke beträgt:

Die Seitenlänge des inneren Quadrats ist b – a und somit ist der Flächeninhalt des inneren Quadrats:

Wir stellen den Term für den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge c auf:

Das ist der Satz des Pythagoras: c² = a² + b². Um die Länge der Hypotenuse zu berechnen müssen wir nur noch die Wurzel ziehen.

2. Möglichkeit

Die zweite Möglichkeit ist, dass wir von dem großen Quadrat den Flächeninhalt berechnen und alles abziehen, was wir nicht benötigen, also viermal das rechtwinklige Dreieck. Wir erhalten also für unsere Formel: Quadrat der Seitenlänge c ist gleich (a + b)² minus viermal der Flächeninhalt des Dreiecks:

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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