Satz des Thales

Beweis vom Satz des Thales

Satz des Thales


Liegen die Eckpunkte eines Dreiecks auf einem Kreis und geht die Grundseite durch den Mittelpunkt des Kreises, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Beweis vom Satz des Thales

Als Voraussetzung muss man wissen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt und dass die Basiswinkel von gleichschenkligen Dreiecken gleichgroß sind.

Dann sehen wir uns jetzt eins der Dreiecke im Kreis an und sehen inwiefern uns dieses Wissen nützt. Wir haben die folgende Voraussetzung:

Wir wissen, vom Mittelpunkt M zu jedem Punkt auf dem Kreis beträgt der Abstand gleich den Radius r. Das heißt also von M zu B beträgt r, von M zu C beträgt r und von M zu A beträgt ebenfalls r. Wir zeichnen die Radien zu jedem Eckpunkt ein und erhalten zwei gleichschenklige Dreiecke:

Im nächsten Schritt zeichnen wir jeweils gleiche Winkel ein.

Die unbekannten Winkel am Mittelpunkt zeichnen wir nicht ein, da wir die gar nicht benötigen. Wir betrachten jetzt wieder das große Dreieck. Die Winkelsumme soll 180° betragen. Also addieren wir einfach alle Winkel und setzen das gleich 180°:

α + β + (α + β) = 180°

Wir haben den Winkel am Punkt A plus den Winkel am Punkt B plus den Gesamtwinkel am Punkt C (diesen haben wir vorerst in Klammern geschrieben). Die Klammern kann man in einer Summe auch weglassen und wir führen folgende Veränderungen durch:

α + β + α + β = 180°

Zusammenfassen (es kommt zweimal α vor und zweimal β):

2α + 2β = 180°

Die 2 können wir ausklammern:

2(α + β) = 180°

Dann teilen wir noch auf beiden Seiten durch 2:

α + β = 90°

Dieser Winkel ist aber gerade der Winkel bei Punkt C und damit haben wir bewiesen, dass dieser rechtwinklig ist.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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