Sehnenviereck

Definition eines Sehnenvierecks und Beschreibung dessen Winkeleigenschaften

Sehnenviereck


Eine Sehne ist eine Strecke im Kreis, die von einem Kreispunkt zu einem anderen Kreispunkt verläuft. Wenn man vier Kreispunkt mithilfe von Sehnen zu einem Viereck verbindet, spricht man von einem Sehnenviereck. Dieses hat die interessante Eigenschaft, dass sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen.

Also, dass α + γ = 180° und β + δ = 180°.

Dass sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen, wollen wir jetzt auch noch zeigen, denn offensichtlich ist das nicht. Dazu müssen wir wissen, dass die Winkelsumme in einem Viereck immer 360° beträgt und dass Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck immer gleichgroß sind. Wir erinnern uns vielleicht noch an Folgendes:

Jetzt werden wir von jedem Eckpunkt unseres Sehnenvierecks eine Linie zum Mittelpunkt ziehen. Da die Eckpunkte auf dem Kreis liegen, sind alle diese Verbindungslinien gleichlang und betragen r (Radius des Kreises).

Und wir sehen: es entstehen vier gleichschenklige Dreiecke. In diese wollen wir jetzt die Basiswinkel eintragen, dafür benötigen wir neue griechische Buchstaben. Wir benutzen: ε (Epsilon), ζ (Zeta), η (Eta) und θ (Theta). Aus Übersichtsgründen lassen wir die vorherigen Winkel von den Eckpunkten weg.

Jetzt benötigen wir unsere Winkelsumme in einem Viereck. Die beträgt 360°. Also addieren wir alle Winkel. Wir beginnen am Punkt A mit ε:

ε + ε + ζ + ζ + η + η + θ + θ = 360°

Wir sehen sofort, dass jeder Winkel zweimal auftaucht und schreiben verkürzt:

2 · ε + 2 · ζ + 2 · η + 2 · θ = 360°

Jetzt klammern wir 2 aus:

2 · (ε + ζ + η + θ) = 360°

Diese Gleichung teilen wir durch 2:

ε + ζ + η + θ = 180°

Jetzt gucken wir in unsere Zeichnung. Und wir sehen, an zwei gegenüberliegenden Eckpunkten treten alle diese vier Winkel auf, also am Punkt A sind es ε und θ, am Punkt C ζ und η. Das macht: ε + ζ + η + θ = 180°. Am Punkt B sind es ε und ζ, am Punkt D η und θ, also wieder alle vier und das macht: ε + ζ + η + θ = 180°. Und damit haben wir bewiesen, dass sich in einem Sehnenviereck gegenüberliegende Winkel immer zu 180° ergänzen.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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