Tangentenviereck

Definition eines Tangentenvierecks und Beschreibung dessen Seitenlängeneigenschaften

Tangentenviereck


Eine Tangente am Kreis ist eine Gerade, die den Kreis in nur einem Punkt berührt. Vier Tangenten um einen Kreis schneiden sich in vier Punkten und bilden ein Viereck, ein Tangentenviereck. Dieses hat eine interessante Eigenschaft, dass die Summe aus zwei gegenüberliegenden Seitenlängen gleich der Summe der anderen beiden gegenüberliegenden Seitenlängen ist.

Also, dass a + c = b + d.

Wir wollen zeigen, dass dies wirklich gilt. Zuerst zeichnen wir einen Kreis und vier Tangenten, die sich schneiden.

Als nächstes zeichnen verbinden wir die Schnittpunkte miteinander und erhalten unser Tangentenviereck.

Im nächsten Schritt verbinden wir Mittelpunkt des Kreises mit den Berührpunkten der Tangenten und den Eckpunkten zu insgesamt vier Drachen. Wir wissen von einem Drachen: Es handelt sich um einen Drachen, wenn jeweils benachbarte Seiten gleich sind. Dass die Verbindungslinien vom Mittelpunkt zu den Berührpunkten jeweils gleich sind, wissen wir, denn es ist der Radius des Kreises. Auf den Seitenlinien zeichnen wir jeweils gleiche Seitenlängen ein und beschriften sie neu:

Und sehen:

a = e + f
b = f + g
c = g + h
d = h + e

Sodass:

a + c = b +d

wegen

a         +  c         = b         +  d 
(e + f) + (g + h) = (f + g) + (h + e)
e + f + g + h = f + g + h + e
e + f + g + h = e + f + g + h

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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