Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zufallsexperimente, Bernoulliexperiment, Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsrechnung - Zufallsexperimente, Bernoulliexperiment, Erwartungswert


In einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsexperiment gibt die Ergebnismenge Ω sämtliche vorkommende Möglichkeiten (Ergebnisse) der Experimente an.

Beispiele:

a) Experiment: Wir ziehen eine Karte aus einem Skatspiel.

Ω = {Karo 7, Karo 8, Karo 9, Karo 10, Karo Bube, Karo Dame, Karo König, Karo Ass, Herz 7, Herz 8, Herz 9, Herz 10, Herz Bube, Herz Dame, Herz König, Herz Ass, Pik 7, Pik 8, Pik 9, Pik 10, Pik Bube, Pik Dame, Pik König, Pik Ass, Kreuz 7, Kreuz 8, Kreuz 9, Kreuz 10, Kreuz Bube, Kreuz Dame, Kreuz König, Kreuz Ass}

b)     Experiment: Wir werfen einen Würfel und notieren die Augenzahl.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c)      Experiment: Wir werfen einen Würfel und notieren, ob eine gerade oder eine ungerade  Zahl fällt.
Ω = {gerade, ungerade}
d)     Wir werfen einen Würfel zweimal hintereinander und notieren die Augensumme.
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Achtung: Die Ergebnisse sind hier nicht gleichwahrscheinlich!
Sind bei einem Experiment alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis (ggf. sprachlich formuliert) eine Menge. Ist das Ereignis wahrscheinlich, dann ist die Menge eine Teilmenge von Ω.
Beispiel:
1.      Experiment: Würfelwurf einmal.
2.      Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3.      Ereignisse
Ereignis A: „Eine „7“ wird gewürfelt“ A = {7} àWahrscheinlichkeit (Probability) von A = P (A) = 0
Ereignis B: „Eine gerade Zahl wird gewürfelt“ B = {2, 4, 6} àP (B) = 0,5
1. Schritt: Definieren: Definieren eines Experiments
2. Schritt: Notieren von Ω
3. Schritt: Definieren und notieren von den Ereignissen A, B, …
4. Schritt: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse. Nur bei Laplace-Experimenten gilt: P (A) = http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image002.gif
Das Gegenereignis zu einem Ereignis A wird mit http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image004.gifbezeichnet. Es umfasst gerade die Elemente, die nicht in A sind. Es gilt http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image004_0000.gif= Ω \{A}.
Beispiel: Einfacher Münzwurf Ω = {W, Z}. A = {W}; http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image004_0001.gif= Ω \{W} = {Z}.
Für die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis gilt: P (A) + P ( http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image004_0002.gif) = 1 = P (Ω) oder auch P ( http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image004_0003.gif) = 1 – P (A).
Das Baumdiagramm ist das Instrument zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, auch kompliziertester Ereignissen!
Beispiel: Experiment: Aus einer Urne mit 2 blauen und 6 grünen Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen.
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_wahrsc1.gif
Es gibt allerdings auch noch Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeiten anders zu berechnen. Als Beispiel hierfür soll das Lottospiel dienen. Beim Lotto werden 6 Kugeln aus 49 gezogen, nach dem Ziehen einer Kugel wird diese nicht zurückgelegt. Ziel ist es möglichst viele Treffer zu ziehen.
Zur Vereinfachung der Anfang vom Baumdiagramm:
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_wahrsc2.gif

Die Wahrscheinlichkeit, dass man alle 6 richtig hat, berechnet man durch:
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image007.gif∙ die Anzahl der Pfade, die es im Baumdiagramm für 6 Treffer gibt (ist hier nur ein Pfad) = 7,151123042∙10-8

Die Wahrscheinlichkeit, dass man 5 Treffer hat:
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image009.gif= 1,844989951∙10-5.

Wieso 6 Pfade für 5 Treffer? Anders gefragt, wie viel Möglichkeiten gibt es, einen Nichttreffer auf 6 Plätze zu verteilen?
T T T T T N
T T T T N T
T T T N T T
T T N T T T
T N T T T T
N T T T T T

Die Wahrscheinlichkeit für 4 Treffer:
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image011.gif= 9,686197244∙10-4
Warum 15 Pfade? Für den 1. Nichttreffer gibt es 6 Möglichkeiten ihn auf 6 Plätze zu verteilen, für den zweiten Nichttreffer dann noch 5. Alle Kombinationen wären dann 6 ∙ 5 = 30, allerdings sind da die Kombinationen eingerechnet, wo sie nur die Plätze tauschen. Diese sind doppelt da sie sich nicht unterscheiden.
Man kann eine Regelmäßigkeit feststellen. Für 3 Treffer (3 Nichttreffer) wird es http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image013.gifPfade geben, für 2 Treffer (4 Nichttreffer) http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image015.gifPfade, für 1 Treffer (5 Nichttreffer) http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image017.gifPfade und für 0 Treffer http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image019.gifPfade. Um dann die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, rechnet man Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

Ein Produkt aus Faktoren, die ganzzahlig von n rückwärts zur 1 gehen (also n …∙ 2 ∙ 1) nennt man n-Fakultät. Schreibweise: n! Die Fakultät von 0 (0!) wird als 1 definiert. Die Fakultät ist nur eine Kurzschreibweise.
Die Anzahl der Pfade in Kurzschreibweise:
1 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image021.gif
2 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image023.gif
3 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image025.gif
4 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image027.gif
5 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image029.gif
6 Treffer auf 6 Plätze: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image031.gif

Allgemein: http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image033.gif

„n über k“ ist die Kurzschreibweise für die davor stehende Formel.

Wahrscheinlichkeit 3 Treffer
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image035.gif= 0,017650403

Wahrscheinlichkeit 2 Treffer
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image037.gif= 0,132378029

Wahrscheinlichkeit 1 Treffer
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image039.gif= 0,41301945

Wahrscheinlichkeit 0 Treffer
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image041.gif= 0,435964975
Weiteres Beispiel: Pokern
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim ersten Geben 4 Asse bekommt (jeder Spieler hat 5 Karten, gespielt wird mit 52 Karten, jede Karte ist viermal vertreten Ω = {4 x 2, 4 x 3, …, 4 x König, 4 x mal Ass})
P (x = 4) = http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image043.gif= 1,846892603 ∙ 10-5

Bernoulliexperiment
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen (Treffer und Nichttreffer), das n-mal durchgeführt wird, wobei die einzelnen Versuchsdurchführungen unabhängig voneinander sind, heißt n-stufiges Bernoulliexperiment.
Beispiel: Zweifacher Münzwurf
Wahrscheinlichkeit dafür, dass man zweimal eine Zahl sieht:
P (x = 2) = http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image045.gif= 0,25
Allgemein: P (x = k) = http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image047.gif

Erwartungswert
Der „Durchschnittswert“ eines Zufallsexperiments heißt Erwartungswert (Schreibweise: E (x) oder µ) und berechnet sich wiefolgt:
E (x) = k1 ∙ P (x = k1) + k2 ∙ P (x = k2) + k3 ∙ P (x = k3) + … + kn ∙ P (x = kn)

Am Beispiel Glücksrad (siehe unten) heißt das:
E (x) = http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image049.gif= 1,375

Glücksrad

1
1
1
0
0
2
2
4
http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image050.gif

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten

k

P (x = k)

 

0

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image052.gif

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image054.gif

1

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image056.gif

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image058.gif

2

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image052_0000.gif

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image060.gif

3

---

---

4

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image062.gif

http://www.mathematik-wissen.de/wahrscheinlichkeitsrechnung_image064.gif

 

 

 

 

Erwartungswert:

1,375

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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