Zykloide

Flächeninhalt und Bogenlänge - Herleitung der Zykloide und Darstellung in Parameterdarstellung

Zykloide


Einführung in die Parameterdarstellung
Herleitung der Zykloide
Verkürzte beziehungsweise verlängerte Zykloide
Verkürzte Zykloide
Verlängerte Zykloide
Flächeninhalt unter einem vollen Bogen
Näherungsverfahren
Beispielrechnung mit der Säulenzahl 5
Bogenlänge eines vollen Bogens
Näherungsverfahren
Beispielrechnung mit der Säulenzahl 5

Markiert man am Rand eines runden Bierdeckels einen Punkt und lässt den Bierdeckel auf dem Tisch – ohne zu gleiten – entlang rollen, dann beschreibt der markierte Punkt eine Kurve. Diese nennt man Zykloide. Eine solche Kurve entsteht zum Beispiel auch bei der Betrachtung eines Reifenventils bei einem Reifen.

Einführung in die Parameterdarstellung

Um beliebige Kurven in einer Ebene zu beschreiben, reicht die implizite Beschreibung durch eine Gleichung nicht mehr aus. Denn bei dieser kann es zu einem x-Wert maximal einen y-Wert geben. Deshalb wird ein Parameter t eingeführt, der ein gegebenes Intervall [a, b] durchläuft. Jedem Wert von t wird ein Punkt mit den Koordinaten x und y zugeordnet. Den Punkt kann man als Ortsvektor bezeichnen. Die Koordinaten x und y hängen von t ab und sind somit Funktionen von t.

Ein Beispiel dazu wäre die Darstellung des Einheitskreises (siehe Abbildung 4.2). Die implizite Funktionsvorschrift eines Halbkreises mit dem Radius r = 1 heißt . Setzt man (beliebig) , wird die y-Koordinate berechnet, indem man x in die implizite Gleichung einsetzt. Daraus ergibt sich folgender y-Wert: (x- und y-Wert siehe Abbildung 4.1).

Nach 360° oder dem Bogenmaß von sind alle Punkte vom Kreis einmal berechnet worden. Sinnvoll ist es also deshalb, das Intervall für t auf 0 bis festzulegen.


Abbildung 4.1

Abbildung 4.2

Es ergibt sich also folgende Parameterdarstellung für den Einheitskreis:

Herleitung der Zykloide

Mit dem Wissen aus 2 soll nun eine Zykloide mathematisch beschrieben werden.


Abbildung 4.3

Abbildung 4.4

Bei jeder vollen Umdrehung zeichnet sich die Länge des Kreisumfanges auf der x-Achse ab. Für den Drehwinkel erhält man also die Länge . Für ein allgemeines t erhält man also, wenn man für t einsetzt, tr.
Bekannt sind t und r. Benötigt wird ein Punkt mit x- und y-Koordinate für die Parameterform. Dazu wird Punkt P in Abbildung 4.4 betrachtet. Der x-Wert von P ist . Dieser kann mit der Differenz ausgedrückt werden. undsind bekannt und können folgendermaßen berechnet werden:

ist die Strecke, die der Kreis auf der x-Achse abrollt und berechnet sich – wie oben gezeigt – mit tr.


ist gleich und kann, weil ist, also auch ist, mit berechnet werden.

Daraus ergibt sich für den x-Wert folgende Gleichung:

Ähnlich wird bei der Berechnung des y-Wertes vorgegangen. Gesucht wird die Strecke (siehe Abbildung 4.4). Diese ist gleich der Strecke und berechnet sich aus der Differenz von und .

ist einfach der Radius r.

kann, weil ist, also auch ist, mit berechnet werden.

 

Es ergibt sich also für den y-Wert folgende Gleichung:

Sowohl x als auch y sind abhängig von t und somit Funktionen von t.
und

In Parameterform:

Abbildung 6.1

Verkürzte beziehungsweise verlängerte Zykloide

Verkürzte Zykloide

Die verkürzte Zykloide ergibt sich, wenn der markierte Punkt P im Inneren des Kreises liegt, das heißt mit dem Abstand a zum Mittelpunkt (a < r).

Bei der Herleitung der x- und y-Koordinaten ist es aber gleichgültig, ob der Punkt P innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.

Es ergibt sich (wie oben gerechnet, mit Ausnahme, dass im rechtwinkligen Dreieck statt r jetzt a vorkommt) für und für .

In Parameterform:


Abbildung 7.1

Verlängerte Zykloide

Da es unabhängig ist, ob der Punkt innerhalb oder außerhalb liegt, ergeben sich die gleichen Werte wie in 2.3.1 und die Parameterform ist auch hier:


Abbildung 7. 2

Flächeninhalt unter einem vollen Bogen

Näherungsverfahren

Unter einem vollen Bogen soll der Flächeninhalt berechnet werden. Da hierzu kein Verfahren zur direkten Bestimmung existiert, kann dieser nur näherungsweise bestimmt werden. Der Kurve werden Rechtecke einbeschrieben und umbeschrieben. Der Mittelwert aller um- und einbeschriebenen Rechtecke ergibt mit abnehmender Breite der Rechtecke einen annähernden Wert für die Fläche.


Abbildung 8.1

Beispielrechnung mit der Säulenanzahl 5

Um einen x-Wert und einen zugehörigen y-Wert zu bekommen, muss man durch die Anzahl der Säulen (in diesem Fall 5) teilen. Dieses t muss in jeder Gleichung mit der Anzahl des x-Wertes und des y-Wertes multipliziert werden. In diesem Beispiel wird der Flächeninhalt von der Zykloide mit dem Radius r = 1 berechnet. Es ergeben sich also folgende x- beziehungsweise y-Werte:

 

y-Werte Untersumme

y-Werte Obersumme

Flächeninhalt Untersumme

Flächeninhalt Obersumme

x1 = 0,31

y1 = 0

y1 = 0,69

A1 = 0

A1 = 0,21

x2 = 1,93

y2 = 0,69

y2 = 1,81

A2 = 1,12

A2 = 2,02

x3 = 4,36

y3 = 1,81

y3 = 1,81

A3 = 4,40

A3 = 4,40

x4 = 5,98

y4 = 0,69

y4 = 1,81

A4 = 1,12

A4 = 2,02

x5 = 6,28

y5 = 0

y5 = 0,69

A5 = 0

A5 = 0,21

Addiert man die Flächeninhalte der Rechtecke zusammen, erhält man als Untersumme 6,64 FE und als Obersumme 8,86 FE (die Obersumme ist zu klein, weil in der Mitte kein y-Wert für Obersummen existiert und in dem Intervall der Wert der Untersumme addiert wird), der Mittelwert liegt bei 7,75 FE. Einen genaueren Wert erhält man, wenn man in kleinere Rechtecke durch kleineres t einteilt. Lässt man den Computer rechnen, ergibt sich für den Kreis mit Radius r = 1 der Flächeninhalt A = 9,585. In der Literatur wird er mit angegeben.

Abbildung 9.1

Bogenlänge eines vollen Bogens

Näherungsverfahren

Ähnlich wie beim Flächeninhalt, steht kein Verfahren zur Verfügung, das die Bogenlänge exakt berechnet. Es wird vorgegangen wie beim Flächeninhalt und erst einmal in Rechtecke eingeteilt. Danach wird aus den Differenzen zweier x- und y-Werte ein Polygon (in diesem Fall ein rechtwinkliges Dreieck) erstellt. Die Hypotenuse dieses Dreiecks ist annähernd die Bogenlänge in dem Intervall. Diese berechnet sich mit .


Abbildung 10.1

 

Beispielrechnung mit der Säulenanzahl 5

x-Wert

y-Wert

Bogenlänge

x0 = 0

y0 = 0

 

x1 = 0,31

y1 = 0,69

l1 = 0,76

x2 = 1,93

y2 = 1,81

l2 = 1,97

x3 = 4,36

y3 = 1,81

l3 = 2,43

x4 = 5,98

y4 = 0,69

l4 = 1,97

x5 = 6,28

y5 = 0

l5 = 0,76

Die Bogenlänge beträgt 7,89 LE. In der Literatur wird die Bogenlänge der Zykloide mit 8r angegeben.

Autor: Christian Franzki Datum: 06.03.2012

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