Werben auf mathematik-wissen.de

Statt wie im Zehnersystem, in dem man Zahlen aus Einern, Zehnern, Hundertern und Tausendern bildet, werden die Zahlen im Binärsystem (Zweiersystem) mit nur zwei Ziffern gebildet. Die Stellen der Stellentafel werden durch die Potenzzahlen von Zwei gebildet (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256, 512, 1024), also fängt es an mit Einern an, dann Zweiern, Vierer, Achter, usw.

Auf vielen alten Gebäuden begegnen uns in Jahresangaben Zahlen, die unseren arabischen Ziffern nicht sehr ähnlichsehen: die römischen Zahlen, benannt nach den Römern, die diese Zahlen früher benutzt haben.

Es gibt Zahlen, die sind größer oder kleiner als andere. Um zu erkennen, welche Zahl größer oder kleiner ist, kann man einen Zahlenstrahl zur Hilfe nehmen. Die kleinen Zahlen stehen links, die großen rechts.

In manchen Situationen ist es unnötig, eine Zahl ganz genau anzugeben, z. B. bei großen Entfernungen oder großen Mengen. Meistens sind ungefähre Zahlen sogar übersichtlicher.

In der Wissenschaft sind die Zahlen leider nicht so handlich wie in den meisten Mathebüchern. Es können sehr große, aber auch sehr kleine Zahlen auftreten.

Der Teiler ist eine Zahl, durch die man eine andere Zahl ganzzahlig teilen kann. Die Teilermenge einer Zahl ist eine Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man diese Zahl ganzzahlig teilen kann, also ohne, dass ein Rest bleibt.

Regeln zum schnellen Abschätzen, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist.

Die Primfaktorzerlegung ist eine Möglichkeit eine Zahl als eindeutiges Produkt zu schreiben. Dabei zerlegt man solange eine Zahl in Produkte aus Primzahlen bis man sie nicht mehr weiter teilen kann. Es ist eine eindeutige Zahlenschreibweise, wobei die Reihenfolge egal ist.

ggT (größter gemeinsamer Teiler): Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen teilbar sind. kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches): Das kleinste gemeinsame Vielfache mindestens zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch beide (oder mehr) Zahlen teilbar ist.

Dieses Thema wird in der Schule fast gar nicht oder nur sehr wenig behandelt. Trotzdem sollte jeder Mathematikinteressierte sie kennen: die Mengen.

Additionen (plus rechnen) größerer Zahlen oder einer größeren Anzahl an Summanden (Summanden sind die Zahlen die man addiert) führen schnell an die Grenzen unserer Kopfrechenmöglichkeiten. Es gibt allerdings ein einfaches Verfahren, dieses schriftlich zu erledigen.

Ebenso wie zum Addieren gibt es auch ein praktisches Verfahren, welches uns ermöglicht, große Zahlen zu subtrahieren (voneinander abzuziehen). Wieder zeigen wir anhand zweier Beispiele Schritt für Schritt wie dieses Verfahren funktioniert.

Zur Multiplikation großer Zahlen, die man möglicherweise nicht im Kopf rechnen kann, gibt es ein Verfahren, mit dem man das Multiplizieren schriftlich erledigen kann.

Zum Dividieren (Teilen) großer Zahlen gibt es ein Verfahren, welches schwieriges Dividieren vereinfacht.

Anwendung des schriftlichen Verfahrens im Binärsystem wie zuvor im Zehnersystem

Rechenregeln und Rechengesetze für die Grundrechenarten

Durch geschicktes Verbinden in Rechenwegen können wir häufig Rechenvorteile gewinnen. Wir zeigen durch Klammern, welche Teile wir zuerst ausrechnen wollen. Es gibt zwei Assoziativgesetze, das der Addition und das der Multiplikation.

Für die Addition und Multiplikation gibt es ein Gesetz, das erlaubt, dass wir Summanden und Faktoren beliebig vertauschen dürfen.

Das Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern. Das bedeutet, man hat ein Produkt (oder Quotienten) aus einer Zahl und einer Klammer – oder auch aus zwei Klammern. In diesen Klammern stehen Summen oder Differenzen. Das Distributivgesetz regelt die Verteilung des Faktors auf die Summanden.

Erweitern, Kürzen, Ordnen, Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen

Die Bruchzahlen sind definiert als Quotient aus ganzer Zahl und natürlicher Zahl. Um Verwirrungen auszuschließen, muss erwähnt werden, dass rationale Zahlen genauso definiert sind und deshalb stellen wir fest: Bruchzahlen ist ein anderes Wort für rationale Zahlen.

Wir haben die verschiedenen Schreibweisen kennen gelernt und wollen uns jetzt ein Bild, also eine Vorstellung, von Bruchzahlen/Brüchen machen. Um Brüche zu veranschaulichen, sind Torten und Pizzen sehr beliebt. Eine kreisrunde Fläche, die man häufig zerteilt. Aber auch jede andere Fläche eignet sich zum veranschaulichen. Wir nehmen einfach das Beispiel Torte und wollen eine Torte unter zwei Personen aufteilen. Dann bekommt also jeder eine halbe Torte.

Bruchzahlen erweitern, kürzen und ordnen durch korrektes Multiplizieren und Dividieren von Zähler und Nenner.

Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen

Dezimalbrüche sind eine weitere Art Bruchzahlen darzustellen. Diese Darstellungsart hat ganz besondere Vorteile bei der Eingabe in Taschenrechner und Computer, aber der Taschenrechner rundet gern und so sind aus Präzisionsgründen richtige Brüche von Vorteil und beim Rechnen im Kopf oder auf dem Papier auch handlicher. Das erfordert manchmal ein Umrechnen von der einen in die andere Darstellungsart.

Die Frage lautet: Was haben Prozentzahlen mit Bruchzahlen oder mit Brüchen und Dezimalbrüchen zu tun? Allein der Bruch steckt schon in dem Wort Prozent (vom lateinischen pro centum – „für Hundert/pro Hundert“).

Würfel, Quader, Pyramide, Kegel, Kugel, Zylinder