Mathematik-Wissen

Mathematik für die Schule
Zuordnung und Dreisatz

Darstellungsarten, Zuordnungstabelle, Koordinatensystem, Proportionale Zuordnung, Dreisatz

Proportionale Zuordnung - Proportionalitätsfaktor, quotientengleich

Eine proportionale Zuordnung ist ein Spezialfall der Zuordnungen. Es handelt sich um eine solche proportionale Zuordnung, wenn die Regel gilt: Vervielfacht man die Ausgangsgröße um einen Faktor k (zum Beispiel verdoppeln, verdreifachen, usw.), so vervielfacht man auch die zugeordnete Größe um k (verdoppelt, verdreifacht, usw.). Das ganze gilt auch für teilen, wenn man zum Beispiel halbiert oder drittelt. Es werden immer beide Werte gleichzeitig halbiert gedrittelt.

Dreisatz bei proportionaler Zuordnung

Bei proportionalen Zuordnungen kann man mit dem Dreisatz Anteile oder Vielfache berechnen. Meistens sind die Aufgabenstellungen in der Art, dass man eine bestimmte Menge einer anderen bestimmten Menge zuordnet, häufig mit Einheiten wie Gramm oder Euro usw. Zum Beispiel könnte man eine Menge Nahrungsmittel einem Preis zuordnen und dann danach fragen, wie viel man mit einem begrenzten Geldbetrag davon kaufen kann.

Antiproportionale Zuordnung - Umgekehrt proportionale Zuordnung

Während sich bei der proportionalen Zuordnung Ausgangsgröße und zugeordneter Wert gleichzeitig vervielfacht haben, so wird bei der antiproportionalen Zuordnung bei Vervielfachung der Ausgangsgröße der zugeordnete Wert durch das Vielfache geteilt. Also wird die Ausgangsgröße verdoppelt, so wird der zugeordnete Wert halbiert.

Prozentrechnung - Prozentzahlen als Darstellung von Anteilen

Wie schon bei der Einführung in die Bruchzahlen erwähnt, sind Prozentzahlen eine Darstellungsmethode für Bruchzahlen. Prozentzahlen zeigen immer einen relativen Vergleich zu einem Ganzen. Da Prozent nichts anderes bedeutet als „ein Hundertstel“, sind hundert Prozent (100 %) ein Ganzes. Und genau zu diesem Ganzen, also zu den 100 % vergleicht man. Zum Beispiel gibt man bei Lebensmitteln Nährwerte für eine Menge wie 100 g oder 100 ml an. Joghurt könnte 1,5 % Fettgehalt haben, das bedeutet, dass in 100 g Joghurt 1,5 g Fett enthalten sind. Wichtig ist, es handelt sich hierbei um eine relative Angabe, das heißt mehr Joghurt hat mehr Fett und weniger eben weniger. Wenn man nun einen großen Becher mit 500 g isst, so sind es schon 7,5 g Fett.

Prozentsatz p % ausrechnen

Wir wollen p % ausrechnen, sodass wir die Formel G · p % = W nach p % umstellen müssen. Dafür teilen wir beide Seiten der Gleichung durch G, das zeigen wir mit einem Arbeitsstrich rechts neben der Gleichung. Ganz wichtig, die Gleichung bleibt nur gleich, wenn man immer auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation ausführt, also immer auf beiden Seiten durch das Gleiche teilt, multipliziert oder addiert.

Grundwert G ausrechnen

Wir benutzen wieder die Grundformel: G · p % = W. Diese stellen wir diesmal nach G um. Dafür müssen wir auf beiden Seiten durch p % teilen.

Prozentwert W ausrechnen

Die Formel, die wir aufgestellt hatten und aus der wir alle anderen Formeln hergeleitet hatten, lautete: G · p % = W. Man setzt Grundwert und Prozentsatz ein und rechnet den Prozentwert aus.

Rationale Zahlen

Einführung der ganzen Zahlen (mit den negativen Zahlen) und Rechenregeln zum Rechnen mit rationalen Zahlen

Ganze Zahlen - Einführung der ganzen Zahlen inklusive der negativen Zahlen

Bevor wir die rationalen Zahlen einführen, führen wir vorher noch die Menge der ganzen Zahlen ein. Wir hatten schon die Menge der natürlichen Zahlen, bei der es sich um ganze, positive Zahlen handelt. Neu bei den ganzen Zahlen sind die negativen Zahlen. Diese werden mit einem Minus vor der Zahl gekennzeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst also alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch alle ganzen, negativen Zahlen.

Definition rationale Zahlen - Menge der positiven und negativen Bruchzahlen

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen Q wie Quotienten bezeichnet. Es gehören alle Zahlen dazu, die entstehen, wenn man zwei Zahlen teilt. Somit entsprechen die rationalen Zahlen den Bruchzahlen. Bei der Einführung der Bruchzahlen wurden bisher nur positive Bruchzahlen betrachtet. Zu der Menge aller rationalen Zahlen gehören sowohl positive als auch negative Bruchzahlen dazu.

Subtrahieren rationaler Zahlen - Subtraktion in Addition umwandeln

Jede Subtraktion ist im Grunde eine Addition. Denn statt a – b können wir schreiben a + (– b). Dieses Denken hat vor allem auch dann Vorteile, wenn wir unsere Rechengesetze Assoziativgesetz und Kommutativgesetz anwenden. Die können wir nämlich nur auf Additionen uneingeschränkt anwenden, aber durch Umwandeln einer Subtraktion in eine Addition, indem wir mit der Gegenzahl addieren, wird es möglich die Gesetze immer bei Addition und Subtraktion anzuwenden.

Geometrie

Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Doppelspiegelung, Parallelverschiebung, Drehung

Achsenspiegelung - Spiegelung an einer Geraden

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Spiegelung von Punkten und ganzen Figuren an Geraden. Hierfür benötigen wir unsere Zeichenausrüstung Stift, Geodreieck und Zirkel. Unser Ziel ist es, zuerst einen Punkt P an einer Geraden g zu spiegeln. Wir zeichnen zuerst unsere Gerade g und unseren Punkt P:

Punktspiegelung - Spiegelung an einem Punkt

Jetzt wollen wir Figuren an einem Punkt spiegeln. Dafür benötigen wir eine Figur, die soll ein Dreieck sein, also aus drei Punkten bestehen, die wir A, B und C nennen. Dieses Dreieck spiegeln wir an einem Spiegelpunkt (auch Zentrum oder Spiegelzentrum genannt). Diesen nennen wir Z (wie Zentrum).

Parallelverschiebung - Verschiebung von Figuren

Bei der Verschiebung von Figuren wollen wir eine Figur in eine vorgegebene Richtung um eine vorgegebene Länge verschieben. Als Voraussetzung haben wir also unsere Figur und einen Pfeil mit einer vorgegebenen Richtung und Länge. Wir müssen nun parallel zum Pfeil jeden Punkt der Figur um die vorgegebene Länge verschieben. Wegen der parallelen Verschiebung spricht man auch von Parallelverschiebung.

Drehungen - Drehung, Drehzentrum, Drehwinkel

Wir wollen eine Figur um einen beliebigen Winkel drehen. Den Winkel benennen wir in Anlehnung an das Wort Drehung mit dem griechischen Buchstaben für „d“: δ (Delta). Das Drehzentrum benennen wir mit Z. Dann haben wir folgende Voraussetzung.

Lineare Funktion

Funktionsbegriff, Steigung, y-Achsenabschnitt, Nullstelle, Funktionsvorschrift

Lineare Funktion - Von der proportionalen Funktion zur linearen Funktion

Vielleicht erinnern wir uns noch an die proportionale Zuordnung. Eine proportionale Funktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Wir haben für sie eine Funktionsvorschrift y = m · x, wobei m hierbei der Proportionalitätsfaktor ist. Später werden wir sehen, dass dieses m für die Steigung der Geraden verantwortlich ist.