Lösen von Gleichungen - Lösungsmenge bestimmen

Klammer mal Faktor, Klammer mal Klammer, Plus vor der Klammer, Minus vor der Klammer, Ausklammern/Faktorisieren

1. Binomische Formel: (a + b)²; 2. Binomische Formel: (a – b)²; 3. Binomische Formel: (a + b) (a – b)

Unter Bruchtermen versteht man Terme, die im Nenner auch Variablen haben können. Bruchgleichungen sind entsprechend Gleichungen mit Termen, die im Nenner Variable haben können.

Ergebnismenge (Menge aller Ergebnisse),Ergebnis (jede einzelen Möglichkeit, die auftreten kann), Ereignis (eine Teilmenge von der Ergebnismenge), Unmögliches Ereignis (keine Teilmenge von der Ergebnismenge), Sicheres Ereignis (Teilmenge ist gleich der Ergebnismenge und Wahrscheinlichkeit ist 1), Gegenereignis (alle Elemente der Ergebnismenge, die nicht zur Ereignismenge dazugehören), Komplementärregel (Ereignis plus Gegenereignis ist das sichere Ereignis

Baumdiagramm (Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten), Pfadmultiplikation (Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten längst des Pfades zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses), Pfadaddition (Addition von Wahrscheinlichkeiten, die bei der Pfadmultiplikation berechnet wurden zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse)

Systeme linearer Gleichungen und Verfahren zur Lösung

Bevor wir lineare Gleichungssysteme lösen wollen, müssen wir erst einmal klären, was eine lineare Gleichung ist. Diese Art von Gleichungen sind von der Form ax + by = c. Wir wollen die Lösungsmenge von einer linearen Gleichung untersuchen.

Verlauf der Geraden, Schnitt, Parallelität

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Anlehnung an das graphische Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dort haben wir nach y aufgelöst, um eine Geradengleichung zu erstellen, und dann gesehen, wo die Geraden gleich sind.

Beim Gleichsetzungsverfahren haben wir beide Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst und dann eben gleichgesetzt. Dem Ganzen liegt zu Grunde, dass wir ein Paar ausrechnen wollen, bei dem beide Variablen in beiden Gleichungen zu wahren Aussagen führen. Und das bedeutet wiederum, dass das y und das x, egal in welcher Gleichung sie vorkommen im Gleichungssystem, denselben Wert haben.

Beim Additionsverfahren addieren wir zwei Gleichungen. Das Ziel ist es, dass eine oder mehrere Variablen wegfallen.

Die Wurzel – speziell Quadratwurzel – aus einer Zahl a ist diejenige positive Zahl, die „mit sich selbst malgenommen“ a ergibt, also:

Wenn die Wurzel aus 2 rational sein sollte, dann müsste man diese als Bruch schreiben können. Wir werden sehen, dass dies am Ende zu einem Widerspruch führen wird. Indirekte Beweise führt man so: Wir nehmen etwas an und widerlegen unsere These.

Regeln zum Multiplizieren und Dividieren

Die Wurzel ist (bekanntlich) stets eine positive Zahl. Wollen wir diese Zahl negativ haben, müssen wir ein „-“ vor die Wurzel (nicht in die Wurzel) setzen

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der mindestens eine Variable unter einer Wurzel steht. Durch geschicktes Quadrieren können die Wurzel entfernt und in quadratische Gleichungen umgewandelt werden.

Scheitelpunktform, PQ-Formel, quadratische Ergänzung, quadratische Gleichungen

Bei der quadratischen Funktion handelt es sich um eine Kurve mit der Funktionsvorschrift y = x² oder f(x) = x². Dazu gibt es verschiedene Abwandlungen der Form f(x) = ax² + bx + c, aber dazu später mehr.

Wir wollen unsere Normalparabel entlang der y-Achse verschieben, also nach oben oder nach unten.

Die quadratische Ergänzung ist eine Anwendung der binomischen Formel, also konkret der Formeln (x + d)² = x² + 2xd + d² und (x – d)² = x² – 2xd + d². Dabei werden sie rückwärts angewendet.

Scheitelpunkt quadratischer Funktionen - Verschieben der Normalparabel in x-Richtung

Wir wollen die Normalparabel strecken bzw. stauchen. Im ersten Fall wollen wir die Funktion f(x) = x² mit dem Faktor 2 strecken. Im zweiten Fall wollen wir f(x) = x² mit dem Faktor 0,5 stauchen.

Wir wollen die Nullstellen, also die Stellen, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet (y = 0), bestimmen und hierfür eine Formel entwickeln – die PQ-Formel.

Als quadratische Gleichung bezeichnet man jede Gleichung, die man auf die Form ax² + bx + c = 0 bringen kann.

Wir wollen in einem Quadrat die Länge der Diagonalen berechnen. Um dies zu erledigen, gehen wir einen Umweg über den Flächeninhalt. Wir führen die Berechnung allgemein an einem Quadrat mit der Seitenlänge a durch.

Wir wollen die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten gegenüberliegt. Sie ist nebenbei auch die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck aufgrund der Dreiecksungleichung, das soll uns hier aber vorerst nicht interessieren. Wir wollen einfach nur die Länge der Hypotenuse berechnen.

Um eine Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks zu finden und die dafür benötigte Höhe, können wir auf den Satz des Pythagoras zurückgreifen.