Zur Überprüfung auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt es zwei Methoden.

1. Methode: Vorzeichenvergleich (auch: Vorzeichenwechselkriterium)

2. Methode: Zweite Ableitung überprüfen (diese Methode werden wir in Zukunft anwenden)

Vorzeichenvergleich

Wir untersuchen die 1. Ableitung an den Nullstellen. An jeder Nullstelle wählen wir zwei x-Werte in der Nähe und setzen sie in die Ableitungsfunktion ein. So können wir überprüfen, dass die Ableitung wirklich von positiv zu negativ bzw. von negativ zu positiv wechselt und es sich nicht um einen Berührpunkt mit der x-Achse handelt.

Wenn der Vorzeichenvergleich um die Nullstelle ein Wechsel von positiv zu negativ zeigt, so handelt es sich bei dieser Nullstelle um eine Hochstelle der Funktion. Wenn der Vorzeichenvergleich um die Nullstelle ein Wechsel von negativ zu positiv zeigt, so handelt es sich bei dieser Nullstelle um eine Tiefstelle der Funktion.

Zweite Ableitung überprüfen

Die Methode der zweiten Ableitung baut auf die des Vorzeichenvergleichs auf. Denn wenn die 1. Ableitung monoton an ihrer Nullstelle fällt, also von positiv zu negativ (das Kriterium für einen Hochpunkt), dann muss die 2. Ableitung negativ sein (1. Ableitung fällt, 2. Ableitung ist negativ).

Das Gleiche für einen Tiefpunkt. Ist die 2. Ableitung positiv an der Nullstelle der 1. Ableitung, so bedeutet dies, dass die 1. Ableitung an ihrer Nullstelle steigt, also von negativ zu positiv wechselt.

Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln.

Extrempunkte auf Hochpunkt und Tiefpunkt untersuchen

Gegeben sei die Funktion:

Ihre erste Ableitung ist:

Die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung Null wird ist an den Stellen x = – 2 und x = 4 erfüllt.

Die hinreichende Bedingung ist, dass diese Stellen in der zweiten Ableitung eingesetzt nicht Null ergeben. Es handelt sich um einen Hochpunkt, wenn die Stelle eine negative Zahl ergibt und einen Tiefpunkt, wenn die Stelle eine positive Zahl ergibt.

Wir bilden die zweite Ableitung und überprüfen die zwei Stellen:

Wir setzen die Stellen in die Funktion en und erhalten für den Hochpunkt H(– 2|6) und für den Tiefpunkt T(4|– 6).