Es soll gezeigt werden, dass folgendes gilt:

Folgendes wird angenommen:

Gesucht zur Funktion f(x) = (sin x)ⁿ ist die Ableitungsfunktion f’(x):

f(x) = (sin x)ⁿ

f’(x) = n ∙ (sin x)^n-1 ∙ cos x

g(x) = (x⁷ + 4x)⁶

g’(x) = 6(x⁷ + 4x)⁵ ∙ (7x⁶ + 4)

h(x) = (-3x² + cos x)⁴

h’(x) = 4(-3x² + cos x)³ ∙ (-6x – sin x)

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet:

Beispiele:

f(x) = sin (2x)

Äußere Funktion ist sin, abgeleitet: cos.

Innere Funktion ist 2x, abgeleitet: 2.

Die Ableitung ist nun: f’(x) = cos (2x) ∙ 2

f(x) = (x² + 2x)²

f’(x) = 2(x² + 2x) ∙ (2x + 2)

Für alle, denen das zu einfach ist:

f(x) = u(v(x))

f’(x) = u’(v(x)) ∙ v’(x)

Beispiel von oben:

f(x) = sin (2x)

u = sin u’ = cos

v = 2x v’ = 2

f’(x) = cos (2x) ∙ 2

f’(x) = u’ (v(x)) ∙ v’(x)