f(x) = x³ - 3x² - x + 3

Nullstellen:

x₁ = 1

Extremwerte:

Überprüfung auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt:

f’’(x) = 6x – 6

f’’(-0,15) = -6,9 < 0 ->Hochpunkt

f’’(2,15) = 6,9 > 0 ->Tiefpunkt

H (-0,15|3,21) T(2,15|-3,08)

Wendepunkt:

f’’(x) = 0

0 = 6x – 6

6 = 6x

1 = x

f(1) = 0

W(1|0)

Graph:

2. Beispiel

Nullstellen:

Per Substitution x² = z

Extremwerte:

f’(x) = 2x³ - 6x

x₁ = 0

0 = 2x² - 6

6 = 2x²

3 = x²

x₂ = -1,732 x₃ = 1,732

f’’(x) = 6x² - 6

f’’(0) < 0 ->Hochpunkt

f’’(1,732) > 0 ->Tiefpunkt

f’’(-1,732) > 0 ->Tiefpunkt

H(0|4) T(-1,732|-0,5) T(1,732|-0,5)

Wendepunkt:

f’’(x) = 0

0 = 6x² - 6

1 = x²

x₁ = 1 x₂ = -1

W1(1|1,5) W2(-1|1,5)

Graph:

3. Beispiel

Nullstellen

Extremwerte

Ableitung mit Produktregel

T(0,33|-0,38)

Graph

Es liegt ein globales/absolutes Minimum vor. Der blaue Graph stellt die Ableitung dar. Der rote die Funktion.