Nullstellen von einer linearen Funktion

Wir setzen die Funktionsvorschrift f(x) = mx + b gleich Null und lösen nach x auf. Eine lineare Funktion können wir als Potenzfunktion ersten Grades interpretieren, wir erhalten (maximal) eine Nullstelle (keine Nullstelle, wenn die Steigung 0 ist oder unendlich, wenn die Funktion die x-Achse ist, wobei es dann auch eigentlich keine lineare Funktion mehr ist, sondern eine konstante Funktion).

Beispiel

Wir wollen die Nullstelle der Funktion f(x) = 2x + 2 berechnen.

Zuerst setzen wir die Funktionsvorschrift Null:

f(x) = 0

2x + 2 = 0

Jetzt können wir mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auflösen.

2x + 2 = 0   | – 2

2x = – 2     | : 2

x = – 1

Dieses Ergebnis bedeutet, dass bei x = – 1 eine Nullstelle vorliegt. Oder als Punkt ausgedrückt, ein Nullpunkt bei N(– 1|0). Wir interpretieren, dass der Funktionsgraph der Funktion f(x) = 2x + 2 bei x = – 1 die x-Achse schneidet.

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Eine quadratische Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c (oder auch Potenzfunktion zweiten Grades) besitzt bis zu zwei Nullstellen. Wir gehen vor wie bei der linearen Funktion, wir setzen die Funktionsvorschrift Null und lösen nach x auf. Am besten geht das mit PQ-Formel (oder man macht es mit quadratischer Ergänzung). Wir machen das an dieser Stelle mit PQ-Formel.

Beispiel

Wir wollen die Nullstellen von f(x) = 2x² + 4x – 6 berechnen. Zunächst setzen wir die Funktionsvorschrift Null:

f(x) = 0

2x² + 4x – 6 = 0

Jetzt wollen wir die PQ-Formel anwenden und erinnern uns daran, dass dies nur mit der normierten quadratischen Gleichung möglich ist, also der Parameter a, die Zahl vor dem x² gleich 1 sein muss. Dafür teilen wir also erst einmal durch 2:

2x² + 4x – 6 = 0   | : 2

x² + 2x – 3 = 0     | p = 2 und q = – 3

Wir setzen in die PQ-Formel ein:

Wir erhalten unsere Nullstellen bei x = 1 und bei x = – 3.

Nullstellen eines Polynoms (speziell Polynom dritten Grades)

Für Polynome dritten Grades und höher existieren keine Formeln, mit denen wir direkt die Nullstellen berechnen können. Wir müssen zunächst versuchen, den Grad durch Faktorisieren zu verkleinern (ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist). Wir führen dies anhand Polynome dritten Grades durch (und können maximal drei Nullstellen erwarten). Aber auch Polynome höherer Grade müssten in dieser Weise gelöst werden, häufig in mehreren Schritten.

Wir betrachten als Beispiel die Potenzfunktion dritten Grades f(x) = 2x³ + 4x² – 6x. Zu allererst überprüfen wir, ob wir ein x, ein x² und so weiter ausklammern können. Das erspart uns ganz erheblich viel Arbeit.

Hier können wir das machen, wir klammern x aus.

2x³ + 4x² – 6x = 0     | x ausklammern

x · (2x² + 4x – 6) = 0 | ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null wird

Wir untersuchen die Faktoren einzeln.

x = 0 wird Null (ist schon Lösung)

oder

2x² + 4x – 6 = 0

Diese quadratische Gleichung können wir wieder mit PQ-Formel lösen:

2x² + 4x – 6 = 0   | : 2

x² + 2x – 3 = 0     | p = 2 und q = – 3

Wir setzen in die PQ-Formel ein:

Wir erhalten als weitere Nullstellen zu x = 0 die Nullstellen bei x = 1 und x = – 3.

Nullstellenberechnung mit Polynomdivision

Wenn wir durch Ausklammern von x nicht den Grad des Polynoms verkleinern können, müssen wir dies durch Polynomdivision erledigen. Ein Nachteil: Wir müssen für jede Polynomdivision eine Nullstelle schon kennen (vorher raten) kennen.

Wir betrachten die folgende Funktion:

Zuerst müssen wir eine Nullstelle raten. Wir probieren x = 1. „Zufällig“ ist x = 1 tatsächlich Nullstelle von f(x). Das Polynom x – 1 ist bei x = 1 gleich Null. Durch dieses Polynom teilen wir, deshalb heißt es auch Polynomdivision.

Das Verfahren Polynomdivision funktioniert sehr ähnlich wie schriftliches Dividieren. Zuerst teilen wir den ersten Summanden der ersten Klammer durch den ersten Summanden der zweiten Klammer und schreiben das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen. Danach multiplizieren wir den ersten Summanden hinter dem Gleichheitszeichen mit der zweiten Klammer und schreiben das Ergebnis unter den ersten Summanden der ersten Klammer. Danach subtrahieren wir die untere Klammer von der ersten oberen Klammer.

Mit diesem Term wiederholen wir das Dividieren erneut. Wir teilen den unteren ersten Summanden durch den ersten Summanden der zweiten Klammer und addieren dieses Ergebnis hinter das, was schon hinter dem Gleichheitszeichen steht. Das was wir als letztes hinter unserem Gleichheitszeichen addiert haben, multiplizieren wir mit der zweiten Klammer und schreiben das Ergebnis unter den untersten Term. Danach subtrahieren wir beide unteren Terme.

Den Schritt müssen wir so häufig wiederholen, bis wir fertig sind.

Wir erhalten unseren Faktor für die faktorisierte Funktionsvorschrift. Wir denken rückwärts und sehen:

Die erste Nullstelle ist klar, die hatten wir oben schon. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist, also untersuchen wir:

x – 1 = 0 (hatten wir oben schon, gilt für x = 1)

oder

Diese Gleichung lösen wir am besten mit PQ-Formel, dafür müssen wir die Gleichung aber normieren, vor dem x² muss eine 1 als Faktor stehen.

Für eine bessere Vorstellung können wir diese Werte noch mit dem Taschenrechner ausrechnen und erhalten zu der Nullstelle bei x = 1 noch die Nullstellen bei x = 6,196 und bei x = – 4,196.