Es wird eine „Null“ eingefügt und danach geschickt geklammert:

 einsetzen in Ableitungsfunktion

Vom Differenzenquotienten zum Differentialquotient (Ableitung) wie auch schon in der früher die Ableitungsregeln hergeleitet wurden. Der Trick hier ist, dass eine Null eingefügt worden ist, nachdem das Produkt in die Standardform eingesetzt worden ist. Durch Umformen kommt man dann wiederum zu zwei Produkten, wobei ein Faktor jeweils die Ableitung von den ehemaligen Faktoren ist, der andere Faktor die Funktion selbst darstellt.

Beispiele:

f(x) = (x²-4)(x³+1)

   u(x) = x²-4 u’(x) = 2x

   v(x) = x³+1 v’(x) = 3x²

f’(x) = 2x(x³+1) + (x²-4)3x²

f’(x) = 2x4+2x+3x4-12x²

f’(x) = 5x4+2x-12x²

oder umgerechnet auch:

h(x) = x² cos(x)

h’(x) = x² (- sin(x)) + cos(x) 2x

h’(x) = - x² sin(x) + cos(x) 2x

Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f(x) = u(x) ∙ v(x) differenzierbar und es gilt: f’(x) = u’(x) ∙ v(x) + u(x) ∙ v’(x). Kurzform: (u∙v)’ = u’v + uv’.

Für Produkte mit drei Faktoren:

f(x) = uvw

f(x) = uz

z(x) = vw

z’(x) = v’w + vw’

f’(x) = u’z + uz'

f’(x) = u’vw + u(v’w + vw’)

f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’