Eine Zahlenfolge ist eine Funktion (f). Man ordnet einer Zahl, die Element der natürlichen Zahlen () ist, einem Wert aus den reellen Zahlen () zu. Die natürliche Zahl, der man einem Wert zuordnet, heißt n (Nummer, vergleichbar mit dem x-Wert bei anderen Funktionen, man fängt in aller Regel mit 1 an und nicht mit 0). Der Wert (n-tes Folgeglied) heißt a_n. Das heißt, statt a₁, a₂, a₃ usw. zu schreiben, fasst man es kurz zu a_n zusammen.

Beispiele:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

ist die Folge der Quadratzahlen und würde man kurz a_n = n² schreiben.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

ist die Folge der Primzahlen, dafür gibt es keine Vorschrift.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

ist die Folge der ungeraden Zahlen und dabei eine arithmetische Zahlenfolge (später noch genauer erklärt). Die Bildungsvorschrift lautet: a_n = 1 + (n – 1) ∙ 2.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

Arithmetische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a₁ bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge: 3, 8, 13, 18, 23, …

Es gibt nun zwei Möglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Entweder benutzt man die Möglichkeit, eine rekursive Bildungsvorschrift aufzustellen oder man stellt eine explizite Bildungsvorschrift auf. Bei der rekursiven Bildungsvorschrift gewinnt man immer aus dem vorherigen Glied der Zahlenfolge das nächste Glied und bei der expliziten Bildungsvorschrift kann man durch Einsetzen in die Formel direkt das n-te Glied berechnen. Die explizite Bildungsvorschrift ist sicher von Vorteil, aber beide Möglichkeiten sind erlaubt.

ist eine Folge, die eine Exponentialfunktion darstellt und dabei eine geometrische Zahlenfolge (auch später noch erklärt) ist. Die Bildungsvorschrift ist: a_n = 2 ∙ 2^{n – 1}.

1. Rekursive Bildungsvorschrift

a_n + 1 = a_n + d (dafür muss an bekannt sein)

Übersetzt heißt das folgendes:

a_n + 1 = das nachfolgende Glied von an;

a_n = das bekannte Glied, von dem man auf das Folgeglied schließen möchte;

d = die immer konstante Differenz.

2. Explizite Bildungsvorschrift

a_n = a₁ + (n – 1) ∙ d

Das heißt:

a_n = n-tes Folgeglied;

a₁ = das meist (es wird vorerst davon ausgegangen nur Folgeglieder zu berechnen, natürlich kann man durch Umstellen der Formel später auch andere Unbekannte ausrechnen) bekannte Anfangsglied;

(n – 1) ∙ d = gesamte Differenz zum unbekannten Glied a_n (deshalb n – 1, weil man, wenn man die 1 nicht abziehen würde, die Differenz von a₀ aus berechnen würde. Aber schließlich möchte man ja die Differenz von a_n und a₁ (n – 1) berechnen, sonst müsste in der Formel am Anfang statt a₁ a₀ stehen).

Dass das so ist, soll anhand des Beispieles gezeigt werden:

a_n = a₁ + (n – 1) ∙ d

a₂ = 3 + (2 – 1) ∙ 5

a₂ = 8

a₃ = 3 + (3 – 1) ∙ 5

a₃ = 13

…

Geometrische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist dann geometrisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern der Quotient immer gleich ist (a₂:a₁ = a₃:a₂ = a₄:a₃ = q). Der Quotient wird logischerweise mit q bezeichnet, das erste Glied auch hier wieder mit a₁.

Beispiel einer geometrischen Zahlenfolge: 4, 1, , …

Auch hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Diese sind, wie bekannt, die rekursive und die explizite Bildungsvorschrift.

1. Rekursive Bildungsvorschrift

a_{n + 1} = a_n ∙ q (selbstverständlich muss hier a_n bekannt sein)

Aus dem Mathematischen ins Deutsche übersetzt:

a_{n + 1} = das nachfolgende Glied von a_n;
a_n = das bekannte Glied, von dem man auf das Folgeglied schließen möchte;
q = der immer konstante Quotient

2. Explizite Bildungsvorschrift

a_n = a₁ ∙ q^{n – 1}

Anhand eines Beispiels soll gezeigt werden, dass dies gilt:

a_n = a₁ ∙ q^{n – 1}

…

Monotonie von Zahlenfolgen

Die Monotonie einer Funktion sagt etwas über den Verlauf der Kurve aus. Steigt die Kurve immer, ist sie monoton wachsend. Fällt sie hingegen, dann ist sie monoton fallend.

Eine Folge an heißt dann

• monoton wachsend, wenn  gilt. Dieses gilt aber auch nur dann, wenn n aus der Menge der natürlichen Zahlen stammt (). Das heißt also nichts anderes, dass jedes Folgeglied größer (oder auch gleich) seinem Vorgänger ist.
• streng monoton wachsend, wenn a_n< a_{n + 1} gilt (wiederum ). Es ist ähnlich wie bei monoton wachsend, nur dürfen Folgeglieder diesmal auf keinen Fall gleich sein, sondern müssen immer größer sein als ihre Vorgänger.
• monoton fallend, wenn  gilt (). Dies ist das genaue Gegenteil von monoton wachsend und heißt also, dass jedes Folgeglied kleiner (oder auch gleich) seinem Vorgänger ist.
• streng monoton fallend, wenn a_n> a_{n + 1} (für alle ). Gegenteil von streng monoton wachsend, Folgeglieder müssen immer kleiner sein und dürfen auf keinen Fall gleich sein.

Beispiel:

Vermutung: Die Folge ist monoton fallend. Deshalb werden alle Folgeglieder kleiner sein.

a_n > a_{n + 1}

Die Vermutung muss nun nur noch bewiesen werden. Sollte am Ende eine Falschaussage stehen, kann die Folge immer noch monoton wachsend sein.

Da dies eine wahre Aussage ist, trifft die Vermutung zu, sodass die Zahlenfolge a_n wirklich monoton fallend ist.

Beschränktheit von Folgen

Nach oben beschränkt

Eine Folge an heißt dann nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S gibt, die größer ist als je ein Folgeglied werden kann. Mathematisch ausgedrückt sieht das dann so aus: .

Beispiel:

a_n = 5 – n ∙ 2

Man sieht klar, dass die Folge nach oben beschränkt ist. Deshalb sind die rote, aber auch die grüne Linie Schranken.

Fragt sich nur, wie man so etwas rechnet. Man könnte zum Beispiel auch einfach ausprobieren. Die bessere Methode wäre aber sicher, die Folge vorerst auf Monotonie zu untersuchen. Wenn man davon ausgeht, dass sie nur nach oben und nicht nach unten beschränkt ist, macht es Sinn, zu vermuten, dass die Folge monoton fallend ist, das heißt, dass jedes Folgeglied kleiner als das vorherig ist.

a_n > a_{n + 1}

5 – n ∙ 2 > 5 – (n + 1) ∙ 2 (Klammer auflösen)

5 – n ∙ 2 > 5 – 2n – 2 (Übersicht herstellen)

5 – 2n > 5 – 2 – 2n | + 2n (und 5 – 2 ausrechnen)

5 > 3

Eine offensichtlich wahre Aussage, das heißt, dass die vermutete Monotonie eingetroffen ist. ->streng monoton fallend

Da das Beispiel zu dem oben stehenden Text passen muss, lag die Vermutung nahe, dass die Monotonie fallend ist, da die Aufgabe so gestellt werden musste, dass sie nur nach oben beschränkt ist. Normalerweise würde man erst die Monotonie feststellen und dadurch dann die Beschränktheit nach oben oder unten.

Ist die Monotonie fallend wie in diesem Beispiel, so müssen alle Folgeglieder kleiner als das erste Glied sein. Das heißt, dass das erste Glied gleichzeitig die äußerste obere Schranke ist (erste Glied: n = 1).

Das könnte ja jeder behaupten, deshalb muss dies auch noch bewiesen werden:

Das ist eine wahre Aussage. Denn n ist schließlich Element der natürlichen Zahlen () und die werden angefangen bei 1 bekanntlich immer größer.

Nach unten beschränkt

Andersherum gibt es natürlich auch nach unten beschränkte Folgen. Eine Folge ist immer dann nach unten beschränkt, wenn kein Folgeglied kleiner wird als die Zahl T. Mathematisch: .

Beispiel:

a_n = n²

Diese Zahlenfolge ist nach unten beschränkt. Die rote und grüne Linie stellen beide mögliche Schranken dar.

Wie oben gelernt, muss die Folge jetzt auf Monotonie untersucht werden, obwohl das Ergebnis natürlich durch die Überschrift schon feststeht. Es liegt hier also nahe zu vermuten, dass die Folge streng monoton wachsend ist.

a_n < a_{n + 1}

n² < (n + 1)² (ausrechnen, auf binomische Formel achten!)

n² < n² + 2n + 1² | – n²

0 < 2n + 1 | – 1

– 1 < 2n | : 2

– ½ < n

Da n immer 1 und größer ist, ist dies eine wahre Aussage. Somit wird die oben aufgestellte Vermutung bestätigt ->die Folge ist streng monoton wachsend.

Da jedes Folgeglied größer ist als das vorherige, liegt es nahe, dass auch hier das erste Glied die äußerste untere Schranke darstellt.

Der Beweis (in diesem Fall besonders einfach):

(wer Lust hat kann auch noch die Wurzel ziehen, aber dieser Fall ist einfach so offensichtlich, dass dies nicht nötig ist.)

Wahre Aussage ->1 ist eine untere Schranke dieser Folge.

Nach oben und unten beschränkt

Für den Fall, dass die Folge a_n nach oben und nach unten beschränkt ist, gibt es kein Folgeglied, dass als Betrag (also nur positiv gesehen) größer ist als die zahl M. Das heißt, dass die Folgeglieder zwischen – M und + M liegen oder kurz auf mathematisch ausgedrückt, dass  gilt ().

Die Berechnung ist nun eher ein Ausprobieren. Man kann sich daher nun folgende Schritte ersparen und gleich ausprobieren und für M einfach etwas Richtiges einsetzen. Zum Beispiel kann man 3 einsetzen:

 mit M = 3

Grenzwert

Der Grenzwert (g) ist eine ganz bestimmte Schranke bei beschränkten Folgen. Und zwar ist bei monoton wachsenden Folgen der Grenzwert die kleinste obere Schranke und bei monoton fallenden Folgen die größte untere. Es gibt keine Möglichkeit ihn zu berechnen. Man kann nur einen vermuteten Grenzwert indirekt beweisen. Und zwar behauptet man ja, dass der Grenzwert die äußerste obere/untere Schranke ist. Das heißt, dass es keine Zahl gibt, die zwischen den Grenzwert und die Folge passt, sei sie auch noch so klein. Man nennt diese Zahl Epsilon (ε), diese darf man frei wählen. Das heißt, wenn man vom Grenzwert (g) die Zahl Epsilon (ε) abzieht, muss das Ergebnis kleiner sein als die gesamte Folge (g –ε < a_n).

Statt zu schreiben „die Folge an hat den Grenzwert g“, schreibt man kurz:

Das sieht furchtbar kompliziert aus, ist aber halb so schlimm. lim (lateinisch: limes = Grenze) steht dafür, dass die Folge (hier a_n) einen Grenzwert hat und zwar dann wenn n gegen unendlich läuft (), das heißt nur, dass die Folge nicht irgendwann aufhört. Der Wert des Grenzwerts, der dann herauskommt wird mit g bezeichnet.

Zahlenfolgen, die einen Grenzwert haben nennt man konvergente Folgen (convergere = zusammenlaufen). Die Zahlenfolge und der Grenzwert nähern sich mit zunehmendem n immer mehr an, sie laufen zusammen. Zahlenfolgen ohne Grenzwert laufen nicht zusammen, sondern auseinander. Man nennt diese also divergente Folgen.

Eine Zahlenfolge, die gegen Null konvergiert (die Null als Grenzwert hat), heißt Nullfolge.

Beispiel zur Lösung einer Aufgabe:

Vermutung:

n = 10 a₁₀ = 1,9

n = 100 a₁₀₀ = 1,99

n = 1000 a₁₀₀₀ = 1,999

Es besteht, nachdem die Folge gezeichnet worden ist und für n immer größere Zahlen eingesetzt worden sind, bei denen das Ergebnis sich der 2 annäherte, Grund zur Annahme, dass 2 der Grenzwert ist.

Fachmännisch heißt das: Limes   für n gegen unendlich gleich 2. Auf Deutsch: 2 ist der Grenzwert zur Folge .

Beweis:

Zwischen den Grenzwert und der Zahlenfolge darf bekanntlich nichts mehr gehen. Das heißt, jedes Epsilon muss größer sein als die Zahlenfolge minus dem Grenzwert oder andersherum. Man schreibt diese Differenz in Betragsstriche, da Folgen auch ins negative gehen können und nur positive Differenzen mit Epsilon ins Verhältnis gesetzt werden können.

Das sagt aus, dass ab einem bestimmten n0 (siehe Zeichnung) alle Folgeglieder in der Epsilonumgebung sind. Man sucht sich jetzt zum Beispiel für Epsilon eine Zahl aus: 0,25.

Also ist die nächste natürliche Zahl die Nummer des Gliedes (hier ist es sogar schon eine natürliche Zahl), ab dem alle Glieder in der Epsilonumgebung sind. Also ab dem vierten.

Man nehme an, dass man nicht zwei als vermuteten Grenzwert, sondern drei genommen hat.

Für Epsilon kleiner als 1 ist die rechte Seite irgendwann negativ und die Ungleichung nicht erfüllt.