Grenzwertsätze - Grenzwerte von Zahlenfolgen bestimmen
Eine Summenfolge sn bildet man dadurch, dass man zwei Folgen z. B. an und bn miteinander addiert: an + bn = sn
Ein Beispiel dazu:
Das ist kein großes Ding. Es gibt auch noch Differenzfolgen, Produktfolgen und Quotientenfolgen. Diese sehen dann so aus: Differenzfolge: dn = an – bn; Produktfolge: pn = an ∙ bn und Quotientenfolgen: . Interessant sind die Eigenschaften von diesen Folgen. Die Grenzwerte von den Folgen verhalten sich nämlich genauso!
Beispiel:
a1 = 1 |
a5 = 0,2 |
a100 = 0,01 |
b1 = 1 |
b5 = 0,04 |
b100 = 0,0001 |
s1 = 2 |
s5 = 0,24 |
s100 = 0,0101 |
Beide Folgen sind Nullfolgen und konvergieren also gegen Null, folglich konvergiert auch die Summenfolge gegen Null.
Daraus folgen die Grenzwertsätze zum Merken:
- Die Summenfolge sn= an + bn hat den Grenzwert a + b
- Die Differenzfolge dn= an – bn hat den Grenzwert a – b
- Die Produktfolge pn= an ∙ bn hat den Grenzwert a ∙ b
- Die Quotientenfolge qn= an : bn hat den Grenzwert a : b
Dazu ein vollständig durchgerechnetes Beispiel:
n wurde ausgeklammert um eine konstante Folge und eine Nullfolge zu bekommen von beiden Folgen sind die Grenzwerte bekannt.
Die Erläuterungen zu den römischen Zahlen:
I Quotientenfolge
II Summen- und Differenzfolge
III (konstante Folge),
(siehe Nullfolgen)