Grenzwertsätze - Grenzwerte von Zahlenfolgen bestimmen

Mit den Grenzwertsätzen wird die Möglichkeit gegeben, Grenzwerte von Folgen zu berechnen, nicht mehr wie zuvor, sie durch Ausprobieren zu ermitteln.

Eine Summenfolge sn bildet man dadurch, dass man zwei Folgen z. B. an und bn miteinander addiert: an + bn = sn

Ein Beispiel dazu:

grenzwertsaetze0070.svg

grenzwertsaetze0071.svg

grenzwertsaetze0072.svg

Das ist kein großes Ding. Es gibt auch noch Differenzfolgen, Produktfolgen und Quotientenfolgen. Diese sehen dann so aus: Differenzfolge: dn = an – bn; Produktfolge: pn = an ∙ bn und Quotientenfolgen:  grenzwertsaetze0073.svg. Interessant sind die Eigenschaften von diesen Folgen. Die Grenzwerte von den Folgen verhalten sich nämlich genauso!

Beispiel:

grenzwertsaetze0070.svg

grenzwertsaetze0071.svg

grenzwertsaetze0072.svg

a1 = 1

a5 = 0,2

a100 = 0,01

b1 = 1

b5 = 0,04

b100 = 0,0001

s1 = 2

s5 = 0,24

s100 = 0,0101

Beide Folgen sind Nullfolgen und konvergieren also gegen Null, folglich konvergiert auch die Summenfolge gegen Null.

Daraus folgen die Grenzwertsätze zum Merken:

  1. Die Summenfolge sn= an + bn hat den Grenzwert a + b
  2. Die Differenzfolge dn= an – bn hat den Grenzwert a – b
  3. Die Produktfolge pn= an ∙ bn hat den Grenzwert a ∙ b
  4. Die Quotientenfolge qn= an : bn hat den Grenzwert a : b

Dazu ein vollständig durchgerechnetes Beispiel:

grenzwertsaetze0077.svg

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n wurde ausgeklammert um eine konstante Folge und eine Nullfolge zu bekommen von beiden Folgen sind die Grenzwerte bekannt.

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Die Erläuterungen zu den römischen Zahlen:
I Quotientenfolge
II Summen- und Differenzfolge
III grenzwertsaetze0084.svg (konstante Folge),  grenzwertsaetze0085.svg (siehe Nullfolgen)