Wir beginnen mit dem „Standard“-Fall, ein Faktor mal eine Summe in Klammern:

Wir sehen, jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert, es ist, als ob man den Faktor in die Klammer reinzieht. Man stelle sich vor: Sitzen zwei Summanden b und c in einem klammerförmigen Auto und fahren über eine Blumenwiese aus Faktoren a. Jeder der Summanden b und c strecken ihre Hände aus der Klammer und pflücken sich eine Faktorblume a.

Ein Zahlenbeispiel dazu: 5 · (5 + 10)

Dieses Gesetz gilt für die folgenden Kombinationen aus Produkt und Summe/Differenz:

Vom Kommutativgesetz der Multiplikation her wissen wir, dass wir bei den ersten beiden Fällen Klammer und Faktor vertauschen dürften, also (b + c) · a = b · a + c · a und (b – c) · a = b · a – c · a. Da dieses Vertauschen für die Division nicht zulässig ist, nehmen wir für den nächsten Fall die Buchstaben d, e und f. Das soll zeigen, dass es sich um andere Zahlen handelt.

Das sind alle Standardfälle. Wir führen zwei weitere Fälle am Beispiel für die Multiplikation und Addition vor:

Wieso sollten wir uns auf zwei Summanden in der Klammer beschränken. Wir nehmen eine beliebige Anzahl, zum Beispiel fünf Summanden:

Natürlich könnte der Faktor auch eine Klammer sein: (2 + 3) · (3 + 1). Man muss jetzt jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden aus der zweiten Klammer multiplizieren. Wir können das bis zum jetzigen Zeitpunkt nur mit Summen und nicht mit Differenzen machen, weil wir dafür Rechenregeln für negative Zahlen bräuchten und die kennen wir noch nicht.

Vorteilhaftes Rechnen mit dem Distributivgesetz

Wie können wir das jetzt nutzen, um damit vorteilhaft zu rechnen? Wir stellen uns vor, dass wir ein Produkt haben, zum Beispiel 5 · 28. Wenn wir jetzt die Zahlen oder auch nur eine von beiden in eine Summe zerlegen, können wir sie damit vielleicht handlicher machen. Wir zerlegen die 28, und zwar in 20 + 8. Das ist nur als Vorschlag zu verstehen, wir können sie beliebig zerlegen. Wir rechnen:

Wir hätten sie auch folgendermaßen zerlegen können:

5 · (20 + 5 + 3) = 5 · 20 + 5 · 5 + 5 · 3 = 100 + 25 + 15 = 140

(3 + 2) · 28 = 3 · 28 + 2 · 28 = 84 + 56 = 140

5 · (30 – 2) = 5 · 30 – 5 · 2 = 150 – 10 = 140

Jeder muss selbst wissen, was er besser und sicherer rechnen kann.