Einführung der ganzen Zahlen (mit den negativen Zahlen) und Rechenregeln zum Rechnen mit rationalen Zahlen

Bevor wir die rationalen Zahlen einführen, führen wir vorher noch die Menge der ganzen Zahlen ein. Wir hatten schon die Menge der natürlichen Zahlen, bei der es sich um ganze, positive Zahlen handelt. Neu bei den ganzen Zahlen sind die negativen Zahlen. Diese werden mit einem Minus vor der Zahl gekennzeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst also alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch alle ganzen, negativen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen Q wie Quotienten bezeichnet. Es gehören alle Zahlen dazu, die entstehen, wenn man zwei Zahlen teilt. Somit entsprechen die rationalen Zahlen den Bruchzahlen. Bei der Einführung der Bruchzahlen wurden bisher nur positive Bruchzahlen betrachtet. Zu der Menge aller rationalen Zahlen gehören sowohl positive als auch negative Bruchzahlen dazu.

Addition von rationalen Zahlen mit gleichem Vorzeichen und verschiedenen Vorzeichen

Jede Subtraktion ist im Grunde eine Addition. Denn statt a – b können wir schreiben a + (– b). Dieses Denken hat vor allem auch dann Vorteile, wenn wir unsere Rechengesetze Assoziativgesetz und Kommutativgesetz anwenden. Die können wir nämlich nur auf Additionen uneingeschränkt anwenden, aber durch Umwandeln einer Subtraktion in eine Addition, indem wir mit der Gegenzahl addieren, wird es möglich die Gesetze immer bei Addition und Subtraktion anzuwenden.

Plus mal Plus gleich Plus, Plus mal Minus gleich Minus, Minus mal Plus gleich Minus, Minus mal Minus gleich Plus

Plus durch Plus gleich Plus, Plus durch Minus gleich Minus, Minus durch Minus gleich Plus