Definition rationale Zahlen - Menge der positiven und negativen Bruchzahlen

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen Q wie Quotienten bezeichnet. Es gehören alle Zahlen dazu, die entstehen, wenn man zwei Zahlen teilt. Somit entsprechen die rationalen Zahlen den Bruchzahlen. Bei der Einführung der Bruchzahlen wurden bisher nur positive Bruchzahlen betrachtet. Zu der Menge aller rationalen Zahlen gehören sowohl positive als auch negative Bruchzahlen dazu.

Mit der Einführung der rationalen Zahlen haben wir unseren Zahlenbereich stark erweitert. So stark, dass wir die Zahlen auch nicht mehr problemlos durchzählen können wie wir das bei den natürlichen Zahlen machen konnten („eins“, „zwei“, „drei“ usw.). Denn wenn wir zwei Zahlen zählen, zum Beispiel 1, 2, … dann liegen zwischen 1 und 2 ganz viele Bruchzahlen. Wir können die rationalen Zahlen ihrer Größe nach ordnen, aber jedes Mal werden uns noch mehr Zahlen einfallen, die zwischen zwei vorhandenen Zahlen passen:

All diese Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen und noch viele mehr:

Es fällt aber auch auf, dass in den rationalen Zahlen bekannte Zahlen auftreten, zum Beispiel – 1 als ganze Zahl oder auch + 1 als natürliche Zahl. Wir stellen unsere Zahlenmengen als Diagramm in Form von Ellipsen dar:

Die natürlichen Zahlen sind komplett in den ganzen Zahlen enthalten und diese wiederum vollständig in den rationalen Zahlen. Man sagt: Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen, die eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind. Formal geschrieben wird das so: