Ganze Zahlen - Einführung der ganzen Zahlen inklusive der negativen Zahlen

Bevor wir die rationalen Zahlen einführen, führen wir vorher noch die Menge der ganzen Zahlen ein. Wir hatten schon die Menge der natürlichen Zahlen, bei der es sich um ganze, positive Zahlen handelt. Neu bei den ganzen Zahlen sind die negativen Zahlen. Diese werden mit einem Minus vor der Zahl gekennzeichnet. Die Menge der ganzen Zahlen umfasst also alle natürlichen Zahlen und zusätzlich noch alle ganzen, negativen Zahlen.

Das Formelzeichen für die ganzen Zahlen ist .

Wir schreiben formal:

Ein wichtiger Begriff bei der Einführung negativer Zahlen ist der Begriff der Gegenzahl. Die Gegenzahl zu einer Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen dieser Zahl ändert. Die Gegenzahl zu 2 ist also – 2, die Gegenzahl zu – 3 ist 3. Wir betrachten das auf dem Zahlenstrahl:

Das Ganze wirkt sehr symmetrisch. Der Abstand von der Zahl zur Null und der Abstand der zugehörigen Gegenzahl zur Null sind gleich. Diesem Abstand zur Null geben wir einen besonderen Namen. Wir nennen ihn Betrag einer Zahl.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null. Wir schreiben für den Betrag die Zahl in Betragsstrichen. Zum Beispiel ist der Betrag einer Zahl m: |m|.

Wir sind auf den Betrag gekommen, weil der Abstand von Zahl und Gegenzahl zur Null gleich sind. Daraus schließen wir: Der Betrag von Zahl und der Betrag der Gegenzahl sind gleich. Beispiele: |– 4| = |4| = 4; |3| = |– 3| = 3 usw.